Integrali indefiniti

[paolo993]

Ciao,
mi potete dare qualche indicazione per questo problema:

determina i valori dei parametri a e b per i quali è soddisfatta la seguente identità:

∫ ax^2 + b
------------ dx= x^2 - 4x +9/2 ln |2x+4| +c
x+2

ps: non so se è chiaro..davanti c'è il simbolo dell'integrale.
grazie per l'aiuto

Paolo

[mic999]

basta risolvere l'integrale $\int{ax^2+b}/{x+2} dx$..
con la divisione dei polinomi scrivi ${ax^2+b}/{x+2} = ax+{-2ax+b}/{x+2}$ da cui l'integrale:

$\int ax dx - \int (2a) {x}/{x+2} dx + b \int 1/{x+2}dx = \int ax dx - \int (2a) {x+2-2}/{x+2} dx + b \int 1/{x+2}dx = ...$
$ax^2/2 - 2ax + 4a log|x+2| + b log|x+2| +c =ax^2/2 - 2ax + (4a+b) log|x+2| +c$

ora confronti il secondo membro dell'uguagliamnza che hai scritto osservando che può essere sviluppato come segue:
$x^2 - 4x +9/2 log |2(x+2)|+c=x^2 - 4x +9/2 log |(x+2)|+c+9/2 log2 = x^2 - 4x +9/2 log |(x+2)|+C$

uguagliando termine a termine avrai $ { ( a/2 =1),( 2a=1),(4a+b=9/2):} $ e troverai
$a=2,b=-7/2$

[teorema55]

$a/2=1 \wedge 2a=1$ ??

Non sono molto competente riguardo il resto,
ma questo?



PS: notata la rima?

[mic999]

Scusami ragione-!! ho fatto un copia e incolla sbagliato!

il corretto sistema è questo:
$ { ( a/2 =1),( 2a=4),(4a+b=9/2):} $

[giammaria2]

Metodo da furbastri: poiché derivare è più facile che integrare ed il risultato è conosciuto, deriviamolo. Abbiamo
$d/(dx)(x^2-4x+9/2ln|2x+4|+c)=...=(4x^2-7)/(2(x+2))=(2x^2-7/2)/(x+2)$
e ne deduciamo $a=2;b=-7/2$

[mic999]

Soluzione eccellente!!!