Integrali di Funzioni Razionali Fratte
Salve a tutti! Non mi è chiara la risoluzione del seguente Integrale:
$\int dx/(5 + 4x^2)$
Il risultato dovrebbe essere $\frac{sqrt{5}} {10}*arc tg\frac {2sqrt{5}} {5}x + C$
Ciò che mi sfugge è l'esatta scomposizione del polinomio al denominatore!
Grazie in anticipo!
$\int dx/(5 + 4x^2)$
Il risultato dovrebbe essere $\frac{sqrt{5}} {10}*arc tg\frac {2sqrt{5}} {5}x + C$
Ciò che mi sfugge è l'esatta scomposizione del polinomio al denominatore!
Grazie in anticipo!
Risposte
Non si scompone, è irriducibile ...
"axpgn":
Non si scompone, è irriducibile ...
Esattamente, mi sono espresso male! Io l'ho riscritto in questo modo:
$\ 5(1+4/5x^2)$
ma comunque non riesco a venirne a capo, Help!
Qual è la derivata dell'arcotangente? Meglio ancora: qual è la derivata di $arctan(f(x))$ ?
"axpgn":
Qual è la derivata dell'arcotangente? Meglio ancora: qual è la derivata di $arctan(f(x))$ ?
$\ (f'(x))/(1 + (f(x))^2)$
Ho afferrato il nocciolo del tuo ragionamento, ma non mi sono perfettamente chiari quei pochi passaggi che occorrono per raggiungere la soluzione! Perdonami ma, premesso che frequento il Liceo Classico e che non ho proprio una fervente passione per la materia in oggetto
, abbiamo iniziato ad affrontare l'argomento da poco e sarei entusiasta se mi spiegassi i passaggi per giungere alla soluzione finale. Grazie!!!
L'obiettivo è quello di "manipolare" l'espressione iniziale $1/(5+4x^2)$ in modo da ottenerne una nella forma $(f'(x))/(1+(f(x))^2)$
Iniziamo con il "generare" l'$1$ al denominatore: $1/(5(1+4/5x^2))$ .., poi possiamo "portar fuori" dall'integrale la costante $1/5$ per semplificarci la vita (non è detto che questa sia la strada migliore, talvolta è meglio lasciarlo dov'è) ... adesso dobbiamo trovare la $f(x)$ da elevare al quadrato; c'è l'abbiamo già $4/5x^2=(2/sqrt(5)x)^2=(f(x))^2$.
Riscriviamolo ... $1/5 int 1/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$
Adesso ci serve $f'(x)$ che è $2/sqrt(5)$
Se adesso moltiplichiamo "sopra" e "sotto" per la nostra $f'(x))$ otteniamo $1/5 int (2/sqrt(5))/(2/sqrt(5)(1+(2/sqrt(5)x)^2))\ \ dx$ che è uguale a $1/5 int sqrt(5)/2*(2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx=sqrt(5)/10 int (2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$
A 'sto punto l'integrale è immediato e il risultato finale è $sqrt(5)/10*arctan(2/sqrt(5)x)$
Ok?
Iniziamo con il "generare" l'$1$ al denominatore: $1/(5(1+4/5x^2))$ .., poi possiamo "portar fuori" dall'integrale la costante $1/5$ per semplificarci la vita (non è detto che questa sia la strada migliore, talvolta è meglio lasciarlo dov'è) ... adesso dobbiamo trovare la $f(x)$ da elevare al quadrato; c'è l'abbiamo già $4/5x^2=(2/sqrt(5)x)^2=(f(x))^2$.
Riscriviamolo ... $1/5 int 1/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$
Adesso ci serve $f'(x)$ che è $2/sqrt(5)$
Se adesso moltiplichiamo "sopra" e "sotto" per la nostra $f'(x))$ otteniamo $1/5 int (2/sqrt(5))/(2/sqrt(5)(1+(2/sqrt(5)x)^2))\ \ dx$ che è uguale a $1/5 int sqrt(5)/2*(2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx=sqrt(5)/10 int (2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$
A 'sto punto l'integrale è immediato e il risultato finale è $sqrt(5)/10*arctan(2/sqrt(5)x)$
Ok?
"axpgn":
L'obiettivo è quello di "manipolare" l'espressione iniziale $1/(5+4x^2)$ in modo da ottenerne una nella forma $(f'(x))/(1+(f(x))^2)$
Iniziamo con il "generare" l'$1$ al denominatore: $1/(5(1+4/5x^2))$ .., poi possiamo "portar fuori" dall'integrale la costante $1/5$ per semplificarci la vita (non è detto che questa sia la strada migliore, talvolta è meglio lasciarlo dov'è) ... adesso dobbiamo trovare la $f(x)$ da elevare al quadrato; c'è l'abbiamo già $4/5x^2=(2/sqrt(5)x)^2=(f(x))^2$.
Riscriviamolo ... $1/5 int 1/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$
Adesso ci serve $f'(x)$ che è $2/sqrt(5)$
Se adesso moltiplichiamo "sopra" e "sotto" per la nostra $f'(x))$ otteniamo $1/5 int (2/sqrt(5))/(2/sqrt(5)(1+(2/sqrt(5)x)^2))\ \ dx$ che è uguale a $1/5 int sqrt(5)/2*(2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx=sqrt(5)/10 int (2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$
A 'sto punto l'integrale è immediato e il risultato finale è $sqrt(5)/10*arctan(2/sqrt(5)x)$
Ok?
Buongiorno, grazie per la spiegazione!
Avrei ancora bisogno di un consulto però!...
Alla luce di quanto mi hai gentilmente mostrato/spiegato, per l'esercizio precedente, ho svolto questo nuovo integrale:
$\ int dx/(x^2+x+3)$
nel modo seguente:
$\ int dx/(x^2+x+3) = int dx/((x+1/2)^2 + 11/4) = 4/11 int dx/(1 + ((2x+1)/sqrt(11))^2) = 4/11 int 11/(2sqrt(11)) (2sqrt(11)/11)/(1+((2x+1)/sqrt(11))^2) dx = 2/sqrt(11) int (2sqrt(11)/11)/(1+((2x+1)/sqrt(11))^2) dx = 2/sqrt(11) arc tg ((2x+1)/sqrt(11)) + C$
Il risultato finale riportato sul mio libro di testo è
$2sqrt(11)/11 arc tg ((2x+1)/sqrt(11)) + C$
Dunque la prima parte della mia soluzione è errata! Ho commesso errori nel procedimento?
Grazie ancora!
Sono la stessa cosa ... il libro ha razionalizzato il denominatore, come da consuetudine ...
"axpgn":
Sono la stessa cosa ... il libro ha razionalizzato il denominatore, come da consuetudine ...
Ottimo! In ogni caso, credo mi rifarò vivo presto!!
Grazie e Buona serata!!
È una minaccia? 
"axpgn":
È una minaccia?
A breve lo scoprirai!!!..
"Lorenzy":
[quote="axpgn"]È una minaccia?
A breve lo scoprirai!!!..
[/quote]Buonasera,
come "da minaccia" eccomi di nuovo! Stavolta si tratta del seguente integrale:
$ int x/(x^2+x+2) dx $
Ho provato a scomporlo come fosse un integrale del tipo:
$ int (px + q)/(ax^2 + bx + c) dx -> ax^2 + bx + c (Delta < 0)$
Senza alcun successo! Come dovrei procedere??
Grazie
Un modo è questo ...
$ int x/(x^2+x+2) dx=1/2 int (2x)/(x^2+x+2) dx=1/2 int (2x+1-1)/(x^2+x+2) dx=$
$=1/2 int (2x+1)/(x^2+x+2) dx-1/2 int 1/(x^2+x+2) dx$
Il primo è del tipo $int (f'(x))/(f(x))\dx$ e per il secondo ti devi rifare alla derivata dell'arcotangente con il completamento del quadrato ecc. ecc.
Non è certo l'unica maniera per risolverlo ...
$ int x/(x^2+x+2) dx=1/2 int (2x)/(x^2+x+2) dx=1/2 int (2x+1-1)/(x^2+x+2) dx=$
$=1/2 int (2x+1)/(x^2+x+2) dx-1/2 int 1/(x^2+x+2) dx$
Il primo è del tipo $int (f'(x))/(f(x))\dx$ e per il secondo ti devi rifare alla derivata dell'arcotangente con il completamento del quadrato ecc. ecc.
Non è certo l'unica maniera per risolverlo ...
"axpgn":
Un modo è questo ...
$ int x/(x^2+x+2) dx=1/2 int (2x)/(x^2+x+2) dx=1/2 int (2x+1-1)/(x^2+x+2) dx=$
$=1/2 int (2x+1)/(x^2+x+2) dx-1/2 int 1/(x^2+x+2) dx$
Il primo è del tipo $int (f'(x))/(f(x))\dx$ e per il secondo ti devi rifare alla derivata dell'arcotangente con il completamento del quadrato ecc. ecc.
Non è certo l'unica maniera per risolverlo ...
Perfetto!
Avrei alcuni dubbi anche riguardo allo Studio di una Funzione (senza integrali)! Posso pubblicare qui il quesito o dovrei aprire un altro argomento all'interno della sezione? In alternativa, potrei mandarti un messaggio privato? Purtroppo sono ancora uno "Starting Member", quindi poco pratico di certe cose!
Apri un thread per ogni problema, è la cosa migliore ... eventualmente si può proseguire nella stessa discussione se l'argomento è lo stesso ma non troppo a lungo ... in questo modo si evita molta confusione ...
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