Integrali di funzioni razionali fratte

[mary_by97]

integrale x^2+x/4x^2+4x+1*dx soluzione: x/4 + 1/8(2x+1) + c

integrale x-2/x^3+2x^2-7x+4 *dx soluzione: 1/5(x-1) + 6/25ln x-1/x+4 + c

integrale 2x^5+1/x^4-x^2 *dx soluzione: x^2+1/x+1/2ln x+1 +3/2ln x-1 + c

[igiul1]

Consiglio per rendere facilmente leggibile ciò che scrivi:
1) metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine dell'espressione;
2) racchiudi tra parentesi numeratore e denominatore.

Hai provato a dividere il numeratore con il denominatore? Il primo inegrale dopo la divisione diventa immediato.

Nel secondo devi scomporre il denominatore e poi ...

Nel terzo prima dividi e poi scomponi il denominatore e poi ...

[niccoset]

Per il primo oltre alla soluzione già posta da igiul suggerisco di scrivere $ (x^2+x)/(4x^2+4x+1) $ come:
$ (x^2+x+1/4-1/4)/(4(x^2+x+1/4))=((x+1/2)^2-1/4)/(4(x+1/2)^2)=1/4-1/16(x+1/2)^(-2) $

Da qui alla soluzione i passaggi sono veramente pochi

[mazzarri1]

Li riscrivo in modo che siano più leggibili spero siano giusti

$int (x^2+x)/(4x^2+4x+1) dx$

$int (x-2)/(x^3+2x^2-7x+4) dx$

$int (2x^5+1)/(x^4-x^2) dx$

segui le indicazioni di Igiul e Niccoset, dopo le divisioni tra polinomi e le scomposizioni con Ruffini ottieni integrali più semplici che risolvi col metodo dei "fratti semplici"

Volevo solo aggiungere una cosa a beneficio di Mary97

In questo genere di integrali devi perdere del tempo all'inizio a "mettere meglio" il numeratore e il denominatore in modo che qualcosa si possa scomporre, che qualcosa possa andare via, che tu riesca a dividerlo in due parti... tutto ciò per rendere più semplice la risoluzione. A titolo di esempio nel primo integrale io farei così, praticamente come ti ha già detto Niccoset

$(x^2+x)/(4x^2+4x+1) =$

$=1/4 (x^2+x)/((x^2+x+1/4)) =$

(questo passaggio al solo scopo di rendere facile la divisione tra numeratore e denominatore che ora vado a fare!!)

$=1/4 (1-(1/4)/(x^2+x+1/4)) =$

$=1/4 (1-(1/4)/(x+1/2)^2) =$

ora metti questo sotto integrale e vedi che lo risolvi in fretta senza i fratti semplici, vengono due integrali "fondamentali"

ciao!!