Integrali definiti

[Angel]

Ciao a tutti, ho provato a fare questo esercizio ma mi risulta -8/3 invece che 8, sapete dirmi dove ho sbagliato? Grazie!
Calcola l'area della regione finita di piano limitata dai grafici delle funzioni y=

[math]\sqrt{2x}[/math]

, y=

[math]\sqrt{6-x}[/math]

e dall'asse x.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao Valentina. :)

Riferendomi alla seguente figura:

[math]area(D_1) = \int_0^2 \sqrt{2\,x}\,dx = \sqrt{2}\int_0^2 \sqrt{x}\,dx = \frac{8}{3} \; ;\\ [/math]

[math]area(D_2) = \int_2^6 \sqrt{6 - x}\,dx = -\int_4^0 \sqrt{t}\,dt = \frac{16}{3} \; ;\\[/math]

[math]area(D_1) + area(D_2) = 8\;.\\[/math]

Ricorda che, in generale:

[math]\int f'(x)\,(f(x))^a\,dx = \begin{cases} \frac{(f(x))^{a+1}}{a+1} + c & per \; a \ne -1 \\ \ln|f(x)| + c & per \; a = -1 \end{cases}\\[/math]

Ora osserva per bene il tuo caso e vedi cosa c'è che non va.

Ah, un'ultima cosa, mi raccomando i differenziali

[math]dx[/math]

non sono degli
opzional, sono importantissimi, soprattutto quando ci si accinge a fare
una sostituzione: in un certo qual senso tengono conto del cambio di
scala che si ha nel cambio di variabile di integrazione. ;)