Integrali

[gcappellotto]

Salve a tutti
Sono in difficoltà con il calcolo dei seguenti integrali:
$int(sin^3x*cosx dx$ a intuito ho trovato $1/4 sin^4x+C$

$int(3x^2)/(2sqrt(x^3+1))$ a intuito ho trovato $sqrt(x^3+1)+C$

Mi interesserebbe conoscere un metodo più "ragionato"pre calcolare questi integrali. Frequento la quarta ITIS

Grazie e saluti
Giovanni C.

[@melia]

"gcappellotto":Salve a tuttiSono in difficoltà con il calcolo dei seguenti integrali:$int(sin^3x*cosx) dx$ a intuito ho trovato $1/4sin^4x+C$

si risolve per sostituzione:
posto $sinx=t$, calcolando il differenziale ad entrambi i membri si ottiene $cosxdx=dt$, sostituendo all'interno dell'integrale i dati si ha
$int t^3dt=t^4/4+c$ poiché $t=sinx$ risostituendo si ottiene $1/4 sin^4x+c$

"gcappellotto":
$int(3x^2)/(2sqrt(x^3+1))$ a intuito ho trovato $sqrt(x^3+1)+C$

Come il problema precedente ponendo $x^3+1=t$

[giammaria2]

@melia, ti mando un bacione! Sono anch'io del parere che integrali di questo tipo vanno fatti per sostituzione, ma quasi tutti i testi li pongono fra gli integrali elementari. Aggiungo quindi alla tua risposta il ragionamento di questi libri: poichè la derivata di una funzione composta è il prodotto delle derivate, allora l'integrale di questo prodotto è la funzione composta (più la solita costante). In altre parole, se la funzione integranda è il prodotto della derivata di una funzione esterna per quella della sua funzione interna, il risultato è la funzione composta.
Uhm... non è molto chiaro; spero almeno che gcappellotto abbia capito che il metodo "ragionato" che chiede è la regola per le funzioni composte