Integrali 2
Buonasera:)
$int_4^9 sqrtx/(2sqrtx-1)$
Ho posto $t=sqrtx$ quindi $dx=2tdt$
Poi ho effettuato la divisione tra numeratore e denominatore ottenendo $Q+R/D$ che è $ 1+(-sqrtx+1)/(2(sqrtx-1))dx$ -> $int [1+(-t+1)/(2t-1)]*2tdt$ che sostanzialmente si riduce in questa, no? $int2t^2/(2t-1) dt$
Intanto chiedo se tale impostazione è corretta...
-------
$int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3)$
Per caso risulta $-3/2log2+3/4log3+1/4log5$?
Grazie
$int_4^9 sqrtx/(2sqrtx-1)$
Ho posto $t=sqrtx$ quindi $dx=2tdt$
Poi ho effettuato la divisione tra numeratore e denominatore ottenendo $Q+R/D$ che è $ 1+(-sqrtx+1)/(2(sqrtx-1))dx$ -> $int [1+(-t+1)/(2t-1)]*2tdt$ che sostanzialmente si riduce in questa, no? $int2t^2/(2t-1) dt$
Intanto chiedo se tale impostazione è corretta...
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$int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3)$
Per caso risulta $-3/2log2+3/4log3+1/4log5$?
Grazie
Risposte
"Myriam92":
... che sostanzialmente si riduce in questa, no? $int2t^2/(2t-1) dt$
Sì, è corretta ma non si capisce perché non hai fatto direttamente la sostituzione senza tutti quei passaggi ...
"Myriam92":
$int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3)$
A me viene $5/4log7-2log2$
"axpgn":
[quote="Myriam92"]$int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3)$
A me viene $5/4log7-2log2$[/quote]
Non $-2log2+3/4log7?$
"axpgn":
[quote="Myriam92"] ... che sostanzialmente si riduce in questa, no? $ int2t^2/(2t-1) dt $
Sì, è corretta ma non si capisce perché non hai fatto direttamente la sostituzione senza tutti quei passaggi ...[/quote]
Ti prego non dirmi nulla che ho perso mezz'ora per quella sostituzione
( un foglio intero di calcoli e cancellature su cancellature... Consumo più gomme che matite ultimamente...) come facevo ad evitare tutti o passaggi ?
"Myriam92":
[quote="axpgn"][quote="Myriam92"]$int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3)$
A me viene $5/4log7-2log2$[/quote]
Non $-2log2+3/4log7?$[/quote]
L'ho rifatta tre volte e quindi ho già dato ...
... però credo che sia giusta la mia perché il "plotter" mi dice che ho ragione ... 
"Myriam92":
Ti prego non dirmi nulla che ho perso mezz'ora per quella sostituzione
Invece te lo dico proprio per quel motivo ... NON puoi perdere tempo così inutilmente ...
Dovevi SOLO sostituire. Punto.
$t=sqrt(x)$
$t^2=x$
$2tdt=dx$
$ Q+R/D $
Sta formula allora ce l'ho scritta per comparsa sulle slides e negli appunti che mi ha dato ai tempi il prof? Io la utilizzo sempre, come c'è scritto , per integrali fratti e a numeratore di grado inferiore al denominatore... Stavolta in effetti era inutile, ma xchè!?!? Nn ci sto capendo più nulla
Proseguendo.. ho provato a integrare per parti ma se integro il denominatore salta fuori il log dentro l'integrale; viceversa meglio se lascio stare.......
Questo $ int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3) $ ha
A= 1/4; B=$3/4?$
Sta formula allora ce l'ho scritta per comparsa sulle slides e negli appunti che mi ha dato ai tempi il prof? Io la utilizzo sempre, come c'è scritto , per integrali fratti e a numeratore di grado inferiore al denominatore... Stavolta in effetti era inutile, ma xchè!?!? Nn ci sto capendo più nulla
Proseguendo.. ho provato a integrare per parti ma se integro il denominatore salta fuori il log dentro l'integrale; viceversa meglio se lascio stare.......
Questo $ int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3) $ ha
A= 1/4; B=$3/4?$
"Myriam92":
$ Q+R/D $
Sta formula allora ce l'ho scritta per comparsa sulle slides e negli appunti che mi ha dato ai tempi il prof? Io la utilizzo sempre, come c'è scritto , per integrali fratti e a numeratore di grado inferiore al denominatore... Stavolta in effetti era inutile, ma xchè!?!? Nn ci sto capendo più nulla
Quella è semplicemente la formula per la divisione tra polinomi (che si impara alle superiori più o meno con Ruffini).
La si usa quando si vuole adottare la tecnica della scomposizione in fratti semplici, perché per poterla usare il grado del numeratore deve essere inferiore a quello del denominatore e quindi, qualora così non fosse, devi per forza fare la divisione per ottenere un quoziente con quelle caratteristiche.
Ora, nel nostro caso era inutile usarla (in quel momento) perché NON avevi a che fare con una divisione fra polinomi (ovvero una funzione razionale fratta) dato che c'erano delle radici (e quindi una funzione irrazionale).
DOPO la sostituzione (che avevi trovato) ti saresti ritrovata con un quoziente di polinomi, e allora sì che potevi usarla, sempre se ne valeva la pena però ... perché magari a quel punto ci potevano essere metodi più semplici. Chiaro?
"Myriam92":
Questo $ int _-1^(1/2) (x-2)/(x^2+2x-3) $ ha A= 1/4; B=$ 3/4? $
Io ottengo $-1/(4(x-1))+5/(4(x+3))$
"axpgn":
DOPO la sostituzione (che avevi trovato) ti saresti ritrovata con un quoziente di polinomi, e allora sì che potevi usarla, sempre se ne valeva la pena però ...
Infatti l'ho rifatto, ma mi pare che ridava lo stesso valore...
Quindi integrazione per parti? Integro $2t^2$? Mi sa che ci vorrebbe integrazione dell'integrazione...
Scusandomi per il disturbo, ti prometto che ti lascerò un po' in pace e ti auguro una buonanotte
"Myriam92":
Infatti l'ho rifatto, ma mi pare che ridava lo stesso valore...
Cioè?
Io lo farei con fratti semplici ...
Ho diviso i polinomi per ridurre in fratti semplici , e ho integrato cercando di scomporre così :
$int1+int(-2t+1)/(2t+1)+int2t^2/(2t-1)$
Da qui in poi non conviene integrare per parti o potremmo usare un altro trucchetto?
[ot]pausa finita, dopo il mordi e fuggi del nipotino a distanza di tanti tanti giorni
[/ot]
$int1+int(-2t+1)/(2t+1)+int2t^2/(2t-1)$
Da qui in poi non conviene integrare per parti o potremmo usare un altro trucchetto?
[ot]pausa finita, dopo il mordi e fuggi del nipotino a distanza di tanti tanti giorni
[/ot]
Io farei così ...
$int (2t^2)/(2t-1)\ \ dt=1/2int (4t^2)/(2t-1)\ \ dt=1/2int (4t^2-1+1)/(2t-1)\ \ dt=1/2int ((2t-1)(2t+1)+1)/(2t-1)\ \ dt$
$1/2int ((2t-1)(2t+1))/(2t-1)\ \ dt+1/2int 1/(2t-1)\ \ dt=1/2int (2t+1)\ \ dt+1/2int 1/(2t-1)\ \ dt$
$1/2int 2t \ dt + 1/2int 1\ \ dt+1/4int 1/(t-1/2)\ \ dt$
da cui ...
$t^2/2+t/2+(log|t-1/2|)/4$
$int (2t^2)/(2t-1)\ \ dt=1/2int (4t^2)/(2t-1)\ \ dt=1/2int (4t^2-1+1)/(2t-1)\ \ dt=1/2int ((2t-1)(2t+1)+1)/(2t-1)\ \ dt$
$1/2int ((2t-1)(2t+1))/(2t-1)\ \ dt+1/2int 1/(2t-1)\ \ dt=1/2int (2t+1)\ \ dt+1/2int 1/(2t-1)\ \ dt$
$1/2int 2t \ dt + 1/2int 1\ \ dt+1/4int 1/(t-1/2)\ \ dt$
da cui ...
$t^2/2+t/2+(log|t-1/2|)/4$
lo sai che non mi piacciono quelle scomposizioni 
mi sta + simpatica la divisione tra monomio e polinomio (come dicevi prima) $ int (2t^2)/(2t-1)\ \ dt$ ottenendo $t+(t)/(2t-1)$, e dividiamo ulteriormente la parte $t/(2t-1)$, ottenendo in definitiva $t+1/2+1/(2(t-1))$ che è + semplice da integrare
ho inventato però un modo scorretto (anche se aveva funzionato XD)... in realtà portando completamente a termine la prima divisione risulta direttamente $ t+1/2+1/(2(t-1)) $
mi sta + simpatica la divisione tra monomio e polinomio (come dicevi prima) $ int (2t^2)/(2t-1)\ \ dt$ ottenendo $t+(t)/(2t-1)$, e dividiamo ulteriormente la parte $t/(2t-1)$, ottenendo in definitiva $t+1/2+1/(2(t-1))$ che è + semplice da integrare
ho inventato però un modo scorretto (anche se aveva funzionato XD)... in realtà portando completamente a termine la prima divisione risulta direttamente $ t+1/2+1/(2(t-1)) $
Ho fatto in quel modo perché ne avevo voglia ... ... (ed anche perché non mi riusciva la divisione ... )
Va bene fare la divisione fra polinomi e così via ... se non fosse che l'ultimo addendo deve essere moltiplicato per $1/2$ ... se sommi i tre addendi vedrai che non torna la frazione iniziale ...
Cordialmente Alex
... (ed anche perché non mi riusciva la divisione ... )Va bene fare la divisione fra polinomi e così via ... se non fosse che l'ultimo addendo deve essere moltiplicato per $1/2$ ... se sommi i tre addendi vedrai che non torna la frazione iniziale ...
Cordialmente Alex
$int_0^1(4x^3+8x^2-12x)^2(3x^2+4x-3)dx$
Per ricondurre all'immediato: $f(x)^n×f'(x)$
Non devo moltiplicare e dividere per 4? ( È la prima volta che ne becco uno così )...
-----
$int_0^(5/2) sen^2xsen2x dx$
NB sen2x= 2sencosx
Per parti non va perché trasformarlo tutto in cos non ce ne facciamo nulla.
Sostituendo t=sen2x nemmeno perché abbiamo dt=2cos2x che nn è contento nel testo quindi nn serve.
Se invece pongo t=senxcosx , la mia dt non contiene nemmeno dei valori.del.testo da poter sostituire...
Consigli?
Grazie!
( Non ti sembrano, OGGETTIVAMENTE ( perché per te è tutto semplice xD ) più difficiletti di quelli che ti avevo proposto finora, specialmente il secondo?)
Per ricondurre all'immediato: $f(x)^n×f'(x)$
Non devo moltiplicare e dividere per 4? ( È la prima volta che ne becco uno così )...
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$int_0^(5/2) sen^2xsen2x dx$
NB sen2x= 2sencosx
Per parti non va perché trasformarlo tutto in cos non ce ne facciamo nulla.
Sostituendo t=sen2x nemmeno perché abbiamo dt=2cos2x che nn è contento nel testo quindi nn serve.
Se invece pongo t=senxcosx , la mia dt non contiene nemmeno dei valori.del.testo da poter sostituire...
Consigli?
Grazie!
( Non ti sembrano, OGGETTIVAMENTE ( perché per te è tutto semplice xD ) più difficiletti di quelli che ti avevo proposto finora, specialmente il secondo?)
Sono entrambi dello stesso tipo, il secondo dopo aver applicato la formula di duplicazione che hai scritto e moltiplicato (non c'è bisogno di fare alcuna sostituzione).
Nel primo è corretta la tua osservazione.
Nel primo è corretta la tua osservazione.
Grazie! Quindi il primo viene zero?
Mentre l'altro $int 2sen^3x cosx dx$
Non mi pare che il secondo fattore sia la derivata del primo, nè trovo modo per renderlo tale..
Mentre l'altro $int 2sen^3x cosx dx$
Non mi pare che il secondo fattore sia la derivata del primo, nè trovo modo per renderlo tale..
"Myriam92":
Grazie! Quindi il primo viene zero?
Sì
Per il secondo ti faccio una domanda: qual è la derivata di $sen^4x$ ?
Perché ? $Cosx×3sen^2x$
... mmmm ... $4*(sin(x))^3*cos(x)$ mi sembra meglio ... che ne dici ?
Mi sono derivata il $sen^3x$ che vedevo dentro il mio integrale , per questo mi chiedevo perché derivare quello alla quarta XD
.... Perché mi avete fatto derivare$ sen^4x$? Da dove è uscito?
.... Perché mi avete fatto derivare$ sen^4x$? Da dove è uscito?
È l'integrale che cercavi ...
$D((sin(x))^4)=4*cos(x)(sin(x))^3\ dx$
Il tuo integrale è $int 2*cos(x)(sin(x))^3\ dx$ da cui $1/2int 4*cos(x)(sin(x))^3\ dx = (sin(x))^4/2$
$D((sin(x))^4)=4*cos(x)(sin(x))^3\ dx$
Il tuo integrale è $int 2*cos(x)(sin(x))^3\ dx$ da cui $1/2int 4*cos(x)(sin(x))^3\ dx = (sin(x))^4/2$
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