Integrali (14028)

[plum]

qualcuno potrebbe controllarmi questo esercizio e dirmi se esiste un metodo più veloce per risolverlo?

[math]\int\cos lnx\,dx[/math]

t=lnx ---> x=e^t ---> dx=e^t dt

[math]\int\cos t*e^t\,dt[/math]

e^t=a ---> t=lna ---> dt=1/a da

[math]\int\cos lna*a*\frac1a\,da=\int\cos lna=\sin lna+c=\sin (ln(e^t))+c=\\=\sin t+c=\sin lnx+c[/math]

avrei anche una domanda: perché nel trasformare dx alla fine si aggiunge sempre dt? Cioè, se x=e^t viene dx=d(e^t)=e^t (visto che la derivata di e^t è e^t), non vedo perché debba essere dx=e^t dt...

[xico87]

metodi più veloci della sostituzione.. difficilente ne trovi. puoi provare con l'integrazione per parti ma solitamente è più lunga.

per la seconda domanda, pensa alla definizione di derivata cme rapporto di differenziali: dy/dx = y', da cui dy = y'dx. in altre parole, il differenziale di y è dato dal prodotto della derivata di y per il differenziale della variabile indipendente. quando fai la sostituzione, la variabile indipendente diventa t, per cui hai d(e^t) = e^t*dt, ossia derivata di e^t moltiplicata per il differenziale della variabile indipendente t

scusa la controllo più tardi perchè è sbagliata verso la fine, tant'è che se provi a derivare sen(lnx) nn ottieni la funzione di partenza. secondo me l'unico metodo è l'integrazione per parti, dopo aver applicato la sostituzione la prima volta. cmq vedo meglio dopo

EDIT: posto la soluzione, poi basta che sostituisci

[plum]

no, si dovrebbe risolvere senza gli integrai per parte... almeno credo...
è un esercizio del compito di mia sorella e lei sostiene che non hanno mai fatto gli integrali per parte... ma in effetti non vuol dire nulla, considerando che ha scoperto che dx vuol dire derivata di x solamente il giorno prima del compito!:satisfied
grazie per la seconda domanda, comunque non riesco a trovare l'errore nella mia risoluzione...:mumble vbb, tanto 'ste cose le farò il prossimo anno

[xico87]

dammi 2 minuti che ti faccio vedere dove sbagli.. senza integrazione per parti nn mi viene in mente nulla cmq

[plum]

ok

[xico87]

bhè.. sbagli perchè se noti hai riottenuto lo stesso integrale di partenza, solo in un'altra variabile (a). ma in quella forma nn puoi integrarlo, quindi riparti daccapo.
poi nn capisco se il differenziale di a ti sei dimenticato di segnarlo o l'hai semplificato con qlcsa (in qst'ultimo caso hai sbagliato)

[plum]

già, che scemo!:satisfied sono tornato al punto di partenza!:beatin e poi ho applcato la formula della derivata (D cosx=senx). allora a questo punto va fatto con gli integrali per parte. grazie, chiudo