Integrale [Risolto]

[Bazzaz]

Salve ragazzi ho questo integrale

$ int 1/(sqrt(x) +xsqrt(x) ) dx $

il risultato è

$ 2arctgsqrt(x) +c $

Dopo averci sbattuto la testa un po mi sono arreso e l'ho risolto per sostituzione,volevo solo sapere se c'era un modo diverso di risolverlo magari con un po d'algebra

[giammaria2]

Il modo c'è, ma è una sostituzione mascherata.

$ int 1/(sqrt(x) +xsqrt(x) ) dx=int 1/(sqrt x (1+x)) dx=int 1/(1+x)*1/(2 sqrt x)*2 dx=2arctgsqrt(x) +c $

[axpgn]

@giammaria
Stamattina, quando l'ho letto anch'io l'ho risolto così però non l'ho postato perché l'OP ha scritto che l'ha già risolto per sostituzione e cercava "qualcos'altro" (anche se non capisco bene cosa perché la sostituzione che hai fatto usa "un po' d'algebra" come lui vorrebbe )

Cordialmente, Alex

[Bazzaz]

non credo di aver capito o meglio ho capito i passaggi algebrici perchè ci avevo provato anch'io ma non capisco perchè
$int 1/(1+x)*1/(2 sqrt x)*2 dx=2arctgsqrt(x) +c $

da come risultato $ 2arctgsqrt(x) +c $

Nel senso che non riesco a vedere la forma

$ int (f'(x))/(1+[f(x)]^2) dx = arctgf(x) +c $

@axpgn nel libro è in un "paragrafo" di esercizi che vengono prima del metodo di sostituzione(che ho usato solo perchè sono andato io un po avanti col programma) e vuole che li risolvi con passaggi algebrici ma non ci sono riuscito e ho provato a fare sostituzione (riuscendoci infine)

[axpgn]

I passaggi algebrici te li ha fatti vedere giammaria (e di fatto è come la sostituzione)

[@melia]

Pensa che $f(x)=sqrtx$ e $f'(x)=1/(2sqrtx)$ allora $ int (f'(x))/(1+[f(x)]^2) dx $ diventa
$ int (1/(2 sqrt x))/(1+(sqrtx)^2)*2 dx=2arctgsqrt(x) +c $

[Bazzaz]

ecco mi ero perso il passaggio dello scrivere la x come radice di x^2 cosi da avere la [f(x)]^2

[giammaria2]

Bene, hai capito, ma bada a come ti esprimi. Nel tuo caso non serve "scrivere la x come radice di x^2" e devi invece "scrivere la $x$ come quadrato di $sqrt x$ ".