Integrale per domani

[M&C88]

Innanzitutto salve a tutti sono nuovoè un ora che sto su questo integrale ma non ci riesco .L'integrale da risolvere è il seguiente

integrale di radice di x^2+1(x^2 +1 tutto sotto radice per capirci meglio) tutto fratto x^2.

Il libro suggerisce di porre x=tg t utilizzando quindi il metodo di sostituzione
Grazie a coloro ke risponderanno

[Ila10*12]

"M&C88":Innanzitutto salve a tutti sono nuovoè un ora che sto su questo integrale ma non ci riesco .L'integrale da risolvere è il seguiente

integrale di radice di x^2+1(x^2 +1 tutto sotto radice per capirci meglio) tutto fratto x^2.

Il libro suggerisce di porre x=tg t utilizzando quindi il metodo di sostituzione
Grazie a coloro ke risponderanno

è semplice basta svolgere tutti i calcoli e poi fai la divisione

[M&C88]

i calcoli come scusa se c'è una radice?come si arriva alla divisione?

[Sk_Anonymous]

"M&C88":Innanzitutto salve a tutti sono nuovoè un ora che sto su questo integrale ma non ci riesco .L'integrale da risolvere è il seguiente

integrale di radice di x^2+1(x^2 +1 tutto sotto radice per capirci meglio) tutto fratto x^2.

Il libro suggerisce di porre x=tg t utilizzando quindi il metodo di sostituzione
Grazie a coloro ke risponderanno

Fammi capire, l'integrale è di $sqrt(x^2+1)/x^2$, oppure ho capito male?

[Mega-X]

si è quello..

[_Tipper]

Se poni $x="tg"(t)$ ottieni $dx = 1+"tg"^2(t)dt$ e l'integrale diventa

$\int \frac{\sqrt{1+"tg"^2(t)}}{"tg"^2(t)} (1+"tg"^2(t))dt$

osserva che $\sqrt{1+"tg^2(t)} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}} = \sqrt{\frac{\cos^2(t) + \sin^2(t)}{\cos^2(t)}} = \frac{1}{|\cos(t)|}$

[M&C88]

Si fin qui ci sono poi?

[_Tipper]

Prova a sostituire $"tg"^2(t) = \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}$ e guarda cosa viene fuori.

[M&C88]

alla fine mi verrebbe integrale di 1 fratto sen^2 t per cos t..Giusto?e ora cm si risolve?

[_Tipper]

Questa strada non mi sembra molto percorribile, prova con quest'altra

$\int \sqrt{1+"tg"^2(t)}\frac{(1+"tg"^2(t))}{"tg"^2(t)}dt$

integrando per parti si trova

$-\frac{\sqrt{1+"tg"^2(t)}}{"tg"(t)} + \int \frac{2 "tg"(t) (1+"tg"^2(t))}{2 \sqrt{1+"tg"^2(t)} "tg"(t)}dt$

Semplificando nell'integrale rimane $\sqrt{1+"tg"^2(t)}$, che è uguale a $\frac{1}{|\cos(t)|}$. Per calcolare quest'ultima primitiva basta applicare le formule parametriche.

[M&C88]

L'integrale per parti non l'abbiamo ancora fatto...Poi 1 fratto cos t come si risolve?

[_Tipper]

Se non avete fatto l'integrazione per parti non saprei...
Comunque, per le formule parametriche, $\frac{1}{\cos(t)} = \frac{1+"tg"^2(\frac{t}{2})}{1-"tg"^2(\frac{t}{2})}$

Basta fare una sostituzione $"tg"(\frac{t}{2}) = u$, notando che $1+"tg"^2(\frac{t}{2}) = 2udu$, e tutto si risolve agevolmente.

[M&C88]

ke sarebbe 2udu? Nn dovrebbe essere 1+ u^2 sopra?

[_Tipper]

Scusami, ho sbagliato a derivare, in realtà viene $(1 + "tg"^2(\frac{t}{2})) dt = 2du$

[Sk_Anonymous]

scusate se non centra niente, ma il simbolo di "integrale" nella formula si scrive \int ?

[_Tipper]

Sì.

[Sk_Anonymous]

thanks.

[vampm2006]

ciao mi potreste aiutare a svolgere questi integrali impropri:
1) integrale + infinito di 1/ x * radice di x^2-1 dx
1
2) integrale + infinito di 1/x(lnx)^3 dx
e