Integrale di seno e coseno

[aneres93]

[math]\int sen2x+cos3xsen^33x[/math]

il risultato è

[math]\frac{sen2x}{2} -\frac{sen^43x}{12}[/math]

?? derive mi dice tutta un'altra cosa e non capisco...


e poi di questo integrale

[math]\frac{2x-5}{2x^2-3x+1}[/math]

a voi quanto viene ? a me 8ln|2x-1| -3ln|x-1| in derive invece di 8 viene 4 e non caspisco neanche qui il perchè!!!

[bimbozza]

[math]\int sen2x+cos(3x)sen^3(3x) dx[/math]

dividiamo l'integrale in

[math]\int sen2x dx+\int cos(3x)sen^3(3x) cd[/math]

il

[math]\int sen2x+cos3xsen^33x dx= -cos(2x)/2[/math]

[math]\int cos(3x)sen^3 (3x) dx[/math]

lo svolgiamo per parti

[math]\int cos(3x)sen^3 (3x) dx=\frac{sin(3x)}{3}sin^3 (3x)-\int \frac{sin(3x)}{3}9cos(3x)sen^2 (3x) dx= \frac{sin^4(3x)}{3}-3 \int cos(3x)sen^3 (3x) dx[/math]

quindi

[math]\int cos(3x)sen^3 (3x) dx= \frac{sin^4(3x)}{3}-3 \int cos(3x)sen^3 (3x) dx[/math]

[math]\int cos(3x)sen^3 (3x) dx+3 \int cos(3x)sen^3 (3x) dx= \frac{sin^4(3x)}{3}[/math]

[math]4 \int cos(3x)sen^3 (3x) dx= \frac{sin^4(3x)}{3}[/math]

[math]\int cos(3x)sen^3 (3x) dx= \frac{sin^4(3x)}{12}[/math]

ne segue che

[math]\int sen2x+cos(3x)sen^3(3x) dx =\frac{-cos(2x)}{2}+\frac{sin^4(3x)}{12}[/math]

--------------------------------------------------------------

[math]\int \frac{2x-5}{2x^2-3x+1} dx[/math]

[math]\frac{2x-5}{(x-1)(2x-1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x-1}=\frac{A(2x-1)+B(x-1)}{(x-1)(2x-1)}[/math]

[math]\left{2A+B=2\\
-A-B=-5
[/math]

[math]\left{A=-3\\
B=8
[/math]

[math]\frac{2x-5}{(x-1)(2x-1)}= \frac{-3}{x-1}+\frac{8}{2x-1}[/math]

[math]\int \frac{2x-5}{2x^2-3x+1} dx= \int \frac{-3}{x-1} dx +\int \frac{8}{2x-1} dx[/math]

[math]\int \frac{-3}{x-1} dx = -3ln|x-1|[/math]

[math]\int \frac{8}{2x-1} dx = \frac{8}{2}ln|2x-1|=4ln|2x-1|[/math]

quindi

[math]\int \frac{2x-5}{2x^2-3x+1} dx=4ln|2x-1| -3ln|x-1|[/math]

[aneres93]

ma perchè nell'ultimo integrale ok porti fuori l'8 e poi lo dividi per due??
e quindi a te viene 4ln|2x-1| invece che 8ln....

[bimbozza]

per poter integrare dobbiamo avere al numeratore la derivata del denominatore, cioè 2 quindi

[math]\int \frac{8}{2x-1} dx = 4\int \frac{2}{2x-1} dx =4ln|2x-1|[/math]