Integrale definito improprio

[XxTDSxX]

Salve

Sono in difficoltà a calcolare $ \int_{0}^{\frac{pi}{2}} \ln^2(2\sinx) \text{d}x $

Dapprima ho notato che

$ \int_{0}^{\frac{pi}{2}} \ln^2(2\sinx) \text{d}x = \int_{0}^{\frac{pi}{2}} [\ln(2sinx)]^2 \text{d}x =
\int_{0}^{\frac{pi}{2}} [\ln2 + lnsinx]^2 \text{d}x = $
$\int_{0}^{\frac{pi}{2}} [ln^2(2) + 2ln2ln(sinx) +ln^2(sinx)] \text{d}x $

e dunque
$ \int_{0}^{\frac{pi}{2}}ln^2(2)\text{d}x +\int_{0}^{\frac{pi}{2}}2ln2ln(sinx)\text{d}x +\int_{0}^{\frac{pi}{2}}ln^2(sinx)\text{d}x = $
$ \frac{pi}{2}ln^2(2) +2ln2\int_{0}^{\frac{pi}{2}}ln(sinx)\text{d}x +\int_{0}^{\frac{pi}{2}}ln^2(sinx)\text{d}x $

Quindi ho tentato di risolvere l'integrale

$ \int_{0}^{frac{pi}\2} ln(sinx) \text{d}x $

ma mi sono bloccato. Ho provato per sostituzione (sinx = e^t oppure sinx = t) ma non arrivo da nessuna parte. Idem se provo a fare una integrazione per parti...
Qualcuno ha qualche altra idea?

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]Sposto in Secondaria, che mi sembra più adatta. Dovrei pensarci meglio, ma mi pare che questo integrale non possa essere calcolato con i metodi tradizionali.[/xdom]

[gugo82]

Sicuro che ti è chiesto di calcolare l'integrale?
Non è che ti si chiede solo di verificare se l'integrale improprio converge?

[XxTDSxX]

No, chiede espressamente di risolverlo.

(Giammaria puoi metterlo pure in sezione scuola secondaria di II grado ma non ho mai detto fosse un problema da "superiori" :p )