Integrale definito

[mtx4]

determinare l'area della regione di spazio compresa fra la curva y = $1/(X^2 -2x)$, l'asse delle x e le rette x=$1/2$ , x=$3/2$

se si fa semplicemente l'integrale fra 1/2 e 3/2 della curva, l'area risulta uguale a log(1/3)

tuttavia fra 1/2 e 3/2 la curva è una parabola rivolta verso il basso con punto di massimo in (1,-1), dunque l'area cercata non è quella che sta sotto la parabola, ma quella che sta sopra

bene, quest'area, da risultato, deve avere valore log3, ma non capisco l'interpretazione grafica del risultato, che è uguale a quello prima ottenuto con un meno davanti, quindi -log(1/3)

chi mi spiega la necessità del meno davanti, è come se facessi l'integrale definito dell'asse x meno quello della curva????

[cozzataddeo]

"mtx4":determinare l'area della regione di spazio compresa fra la curva y = $1/(X^2 -2x)$, l'asse delle x e le rette x=$1/2$ , x=$3/2$

se si fa semplicemente l'integrale fra 1/2 e 3/2 della curva, l'area risulta uguale a log(1/3)

tuttavia fra 1/2 e 3/2 la curva è una parabola rivolta verso il basso con punto di massimo in (1,-1), dunque l'area cercata non è quella che sta sotto la parabola, ma quella che sta sopra

Esatto. Tuttavia, se esegui l'integrale definito brutalmente ottieni un valore negativo, $log(1/3)$ appunto, mentre quello che interessa a te è la misura dell'area, che è un valore positivo.

"mtx4":bene, quest'area, da risultato, deve avere valore log3, ma non capisco l'interpretazione grafica del risultato, che è uguale a quello prima ottenuto con un meno davanti, quindi -log(1/3)

È quello che ti dicevo: l'integrale definito fornisce valori positivi per aree sopra l'asse delle x e valori negativi per aree al di sotto. Ad esempio risulta

$int_0^(2pi)senxdx = 0$

perché la porzione di area positiva è uguale alla porzione di area negativa e quindi l'integrale definito fornisce $0$ come risultato complessivo.

"mtx4":chi mi spiega la necessità del meno davanti, è come se facessi l'integrale definito dell'asse x meno quello della curva????

In linea generale se vuoi l'area compresa tra due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ nell'ipotesi che all'interno dell'intervallo $[a,b]$ si abbia sempre $f(x)>=g(x)$ devi eseguire l'integrale

$int_a^b[f(x)-g(x)]dx$

Quindi se devi calcolare l'area delimitata da una curva $h(x)$ che sta sopra l'asse delle x devi calcolare (ricorda che l'equazione dell'asse x è $y=0$)

$int_a^b[h(x)-0]dx = int_a^bh(x)dx$

mentre se la tua curva $h(x)$ sta sotto devi calcolare

$int_a^b[0-h(x)]dx = -int_a^bh(x)dx$

Ecco spiegato il segno - di differenza.

[mtx4]

perfetto, era come pensavo, volevo solo una conferma della mia tesi
integrale dell'asse x è 0 - quello della curva e trovo l'area richiesta
ottimo, grazie della conferma

[cozzataddeo]

Di niente.

Buona matematica!