Integrale con sostituzione trigonometrica

[andar9896]

Salve a tutti, ho risolto questo integrale con la sostituzione $t=lnx$

$int 2sqrt(x^2-1)/x dx$

arrivando alla soluzione anche abbastanza facilmente... mi è stato detto però che questo tipo di integrale si risolve generalmente con una sostituzione trigonometrica, ma non riesco a farlo in questo modo
La mia è solo una curiosità che potrà tornarmi utile per il futuro probabilmente potreste darmi qualche suggerimento?

[andar9896]

Buongiorno, purtroppo la notte non mi ha portato consiglio da povero studente ho allora preso il tuo metodo e l'ho continuato, ma mi sono reso conto che i calcoli sono snervanti dopo il metodo del completamento del quadrato al denominatore e applicando poi i fratti semplici credo che mi arrenderò:oops: grazie della sfida comunque

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":Buongiorno, purtroppo la notte non mi ha portato consiglio da povero studente ho allora preso il tuo metodo e l'ho continuato, ma mi sono reso conto che i calcoli sono snervanti dopo il metodo del completamento del quadrato al denominatore e applicando poi i fratti semplici credo che mi arrenderò:oops: grazie della sfida comunque

no che sfida!! sei bravissimo....ora lo continuiamo...ti faccio vedere la strada dell'illuminazione!!

quella strada la conosco già...in parecchi ci hanno provato inutilmente....guarda questa e sorridi

[Lo_zio_Tom]

scriviamo l'espressione integranda così:


$2y^2/(y^4+1)=((y^2-1)/y^2+(y^2+1)/y^2)/((y^4+1)/y^2)=((1-1/y^2)+(1+1/y^2))/(y^2+1/y^2)=(1-1/y^2)/(y^2+1/y^2)+(1+1/y^2)/(y^2+1/y^2)$

poniamo:

$u=y-1/y$ => $u^2=y^2+1/y^2-2$ =>$y^2+1/y^2=u^2+2$


$v=y+1/y$ => $v^2=y^2+1/y^2+2$ =>$y^2+1/y^2=v^2-2$

e quindi:

$du=(1+1/y^2)dy$ e $dv=(1-1/y^2)dy$

in definitiva abbiamo

$int2y^2/(y^4+1)dy=int1/(v^2-2)dv+int1/(u^2+2)du$

qui dovresti riuscire a risolvere...poi, con calma, fare tutti i passi a ritroso.....era troppo difficile

[andar9896]

Sì questi ultimi due sono da manuale incredibile quanto sia complessa l'integrazione

[mazzarri1]

Sei un geande tommik!!!