Integrale con sostituzione trigonometrica

[andar9896]

Salve a tutti, ho risolto questo integrale con la sostituzione $t=lnx$

$int 2sqrt(x^2-1)/x dx$

arrivando alla soluzione anche abbastanza facilmente... mi è stato detto però che questo tipo di integrale si risolve generalmente con una sostituzione trigonometrica, ma non riesco a farlo in questo modo
La mia è solo una curiosità che potrà tornarmi utile per il futuro probabilmente potreste darmi qualche suggerimento?

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":Salve a tutti, ho risolto questo integrale con la sostituzione $t=lnx$

$int 2sqrt(x^2-1)/x dx$

arrivando alla soluzione anche abbastanza facilmente... mi è stato detto però che questo tipo di integrale si risolve generalmente con una sostituzione trigonometrica, ma non riesco a farlo in questo modo
La mia è solo una curiosità che potrà tornarmi utile per il futuro probabilmente potreste darmi qualche suggerimento?

$x=sec(t)$

[Lo_zio_Tom]

se ti interessa ti spiego anche il perché...ha a che fare con i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli..che dovresti conoscere

prendiamo un triangolo rettangolo di ipotenusa $x$, cateti $1$ e, ovviamente, $sqrt(x^2-1)$. Supponiamo che l'angolo adiacente al cateto $1$ sia $theta$

Intanto notiamo che il cateto $sqrt(x^2-1)$ è proprio la quantità incognita del nostro integrale.
Ora applichiamo il noto teorema: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente e otteniamo:

$1=xcostheta$, ovvero $x=sectheta$ => che è la sostituzione necessaria a risolvere l'integrale....

Ora, con lo stesso ragionamento, prova tu a trovare le sostituzioni per questi altri tipi di integrali (il primo è lo stesso dell'esercizio ma generalizzato con i coefficienti che potresti trovare):

$a,b>0$

$sqrt(b^2x^2-a^2)$ =>

$sqrt(b^2x^2+a^2)$ =>

$sqrt(a^2-b^2x^2)$ =>

molti imparano queste sostituzioni in maniera meccanica senza capirci nulla....se invece le impari come te le sto spiegando ora, non avrai più bisogno di ricordartele ma riuscirai di volta in volta a ricavartele quando necessario...

[andar9896]

Perdonami un attimo, mi permetti di "congelare" un attimo il tuo utilissimo esercizio?
Mi sono bloccato nel passaggio finale

$d(sect)=(sent)/(cos^2t)=sect tant dt$

L'integrale diventa dunque:

$int 2 sqrt(sec^2t-1)/sect sect tant dt=2inttan^2tdt$
$2int(tan^2t +1-1)dt = 2tant - 2t +c$

ora, $2tant=2sqrt(sec^2t-1)=2sqrt(x^2-1)$

...e $2t$ ?? $2arcsecx$ ?

Mi sento stupido perché mi sembra banale ma non mi convince

[mazzarri1]

"tommik":se ti interessa ti spiego anche il perché...ha a che fare con i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli..che dovresti conoscere

prendiamo un triangolo rettangolo di ipotenusa $x$, cateti $1$ e, ovviamente, $sqrt(x^2-1)$. Supponiamo che l'angolo adiacente al cateto $1$ sia $theta$

Intanto notiamo che il cateto $sqrt(x^2-1)$ è proprio la quantità incognita del nostro integrale.
Ora applichiamo il noto teorema: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente e otteniamo:

$1=xcostheta$, ovvero $x=sectheta$ => che è la sostituzione necessaria a risolvere l'integrale....

Ora, con lo stesso ragionamento, prova tu a trovare le sostituzioni per questi altri tipi di integrali (il primo è lo stesso dell'esercizio ma generalizzato con i coefficienti che potresti trovare):

$a,b>0$

$sqrt(b^2x^2-a^2)$ =>

$sqrt(b^2x^2+a^2)$ =>

$sqrt(a^2-b^2x^2)$ =>

molti imparano queste sostituzioni in maniera meccanica senza capirci nulla....se invece le impari come te le sto spiegando ora, non avrai più bisogno di ricordartele ma riuscirai di volta in volta a ricavartele quando necessario...

Grazie molto utile!

[andar9896]

comunque:



$sqrt(b^2x^2-a^2)$ => $bx=asect rArr sqrt(a^2sec^2t-a^2)=atant$

$sqrt(b^2x^2+a^2)$ => $bx=atant rArr sqrt(a^2tan^2t+a^2)=asect$

$sqrt(a^2-b^2x^2)$ => $bx=acostrArr sqrt(a^2-a^2cos^2t)=asent$

giusto?

[Lo_zio_Tom]

EDIT: non avevo visto che lo avevi già ucciso da solo

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":

...e $2t$ ?? $2arcsecx$ ?

Mi sento stupido perché mi sembra banale ma non mi convince

perfetto! bravissimo!

o, se preferisci, $2t=2arccos(1/x)$

[andar9896]

Ah perfetto, non mi sembrava molto elegante ma è esatto
Grazie infinite!!

[Lo_zio_Tom]

allora, visto che sei così portato..prova questo:

$intarcsecxdx$

prima te lo avevo proposto ma mi sembrava un po' troppo complicato e quindi l'ho cancellato

[andar9896]

Grazie, mi metto subito all'opera


EDIT: allora, sono arrivato qui

$x=secy rarr y=arcsecx$

$d(arcsecx)=1/(d(secy))=1/(secytany)=1/(secysqrt(sec^2y-1))=1/(xsqrt(x^2-1))$

Ora: $int arcsecx= x arcsecx- int x d(arcsecx)= x arcsecx - int 1/sqrt(x^2-1) dx$

adesso $x=sect rarr dx=sect tantdt$

e quindi $int 1/sqrt(x^2-1) dx = int 1/sqrt(sec^2x-1) sect tant dt = int sectdt$

e qui sono bloccato

[Lo_zio_Tom]

io intanto l'ho ri-risolto perché lo avevo fatto tempo fa e non mi ricordavo più come...ora fammi dare un'occhiata

[Lo_zio_Tom]

tu sei da uccidere!!!!

Hai svolto l'integrale [molto difficile] in maniera impeccabile...e ti blocchi di fronte ad un bicchiere d'acqua....è tutto perfetto...dai caXXo

[andar9896]

Forse ci sono! Un attimo solo

EDIT: $int 1/cost dt = int (1+s^2)/(1-s^2) (2s)/(1+s^2) ds = int (2s)/(1-s^2) ds$ con ovviamente $s=tan(t/2)$

ora $int (2s)/(1-s^2) ds = - int (d(1-s^2))/(1-s^2) = -log abs(1-s^2)+c rarr -logabs(1-tan^2(t/2)+c$

$-logabs(2-sec^2(t/2))+c$

$sec^2(t/2)=1/cos^2(t/2) = 2/(1+cost) = (2sect)/(1+sect)$ $rarr -logabs(2-(2x)/(1+x)) = -logabs(2/(1+x))$

alla fine: $x arcsecx + logabs(2/(1+x)) + c$ ??

[Lo_zio_Tom]

non ci credo......

allora:

$int1/(cost)dt=int(cost)/(cos^2t)dt=int(cost)/(1-sen^2t)dt=int1/(1-y^2)dy=1/2int1/(1+y)dy-1/2int(-1)/(1-y)dy=1/2log((1+sent)/(1-sent))$

(avendo posto ovviamente $y=sent$). Dai adesso uccidilo che comunque te lo sei meritato....

[andar9896]

Ti ringrazio, ma qual è l'errore nei miei calcoli?

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":Ti ringrazio, ma qual è l'errore nei miei calcoli?

non ho guardato....fammi dare un'occhiata a 'ste parametriche. Hai sbagliato il differenziale hihihi hai messo una $s$ di troppo


$t=2arctans$ =>$dt=2/(1+s^2)ds$


comunque complimenti davvero!!

[Lo_zio_Tom]

ora però alzo il livello al massimo.....

$intsqrt(tanx)dx$

[andar9896]

oddio..che errore stupido
vediamo quest'altro

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":oddio..che errore stupido
vediamo quest'altro

quest'altro non ce la puoi fare....però si può tranquillamente risolvere con gli strumenti che conosci....

[Lo_zio_Tom]

intanto che ci pensi....io ho fatto così (ci ho messo un po' eh..oggi l'ho solo rispolverato)

non trovando nessun metodo per varie strade...dopo un po' di tentativi ho cercato di cambiare il differenziale e mi son detto:

quanto vale il differenziale di $sqrt(tanx)$?

Vale esattamente: $dsqrt(tanx)=1/2(tan^2x+1)/sqrt(tanx)dx$

allora ho moltiplicato e diviso nell'integrale tutte quelle quantità necessarie a cambiare il differenziale:


$intsqrt(tanx)dx=2intsqrt(tanx)sqrt(tanx)/(tan^2x+1)1/2(tan^2x+1)/sqrt(tanx)dx=2int(tanx)/(tan^2x+1)dsqrt(tanx)$

ora ponendo $sqrt(tanx)=y$

otteniamo $2inty^2/(y^4+1)dy$

che è ancora difficilino ma risolvibile