Integrale con integrazione per parti
Mi potreste dare una mano nel risolvere questo integrale ? integrale di x * arctan (sqrt(x-1))dx
Ho messo come sqrt(x-1)=t . Ho scelto arctan t come fattore definito e 2t^3+2t come fattore differenziale . Il problema è che nel calcolo dell'integrale di f'(x)*g(x) mi vengono dei calcoli piuttosto lunghi e alla fine non mi torna . f(x)=arctan t g'(x)=2t^3+2t
Ho messo come sqrt(x-1)=t . Ho scelto arctan t come fattore definito e 2t^3+2t come fattore differenziale . Il problema è che nel calcolo dell'integrale di f'(x)*g(x) mi vengono dei calcoli piuttosto lunghi e alla fine non mi torna . f(x)=arctan t g'(x)=2t^3+2t
Risposte
metti un dollaro prima e dopo ogni formula, altrimenti sono illeggibili. cosí $formula$, dove formula è ad esempio \int 1/x dx
ps: l'integrale è \int
ps: l'integrale è \int
Dovrebbe essere così
$int x arctg (sqrt(x-1)) dx$
$x-1=t^2$
$dx=2tdt$
$int 2t (t^2+1) arctg (t) dt =$
$= 2 int (t^3+t) arctg (t) dt=$
$= 2 int t^3 arctg (t) dt + 2 int t arctg (t) dt$
cioè li separerei... da qui vai avanti da solo?
ciao!
$int x arctg (sqrt(x-1)) dx$
$x-1=t^2$
$dx=2tdt$
$int 2t (t^2+1) arctg (t) dt =$
$= 2 int (t^3+t) arctg (t) dt=$
$= 2 int t^3 arctg (t) dt + 2 int t arctg (t) dt$
cioè li separerei... da qui vai avanti da solo?
ciao!
L'integrale di partenza è quello scritto da Mazzari .
Il libro mi chiede di farlo con l'integrazione per parti , io ho svolto tutti i calcoli ma non mi torna , quindi se qualcuno potesse fare il calcolo così che possa capire dove sto sbagliando sarebbe fantastico .
Il libro mi chiede di farlo con l'integrazione per parti , io ho svolto tutti i calcoli ma non mi torna , quindi se qualcuno potesse fare il calcolo così che possa capire dove sto sbagliando sarebbe fantastico .
Proviamo a fare per parti il secondo
$int t arctg t dt =$
$= t^2/2 arctg t -1/2 int t^2/(1+t^2) dt =$
ora pensiamo che
$t^2/(1+t^2) = 1-1/(1+t^2)$ e abbiamo
$=t^2/2 arctg t -1/2 t +1/2 arctg t $
ho fatto i calcoli un po' veloci e a mente... spero di non aver sbagliato nulla... ricontrolla!!
L'altro integrale:
$int t^3 arctg t dt =$
$= t^4/4 arctg t -1/4 int t^4/(t^2+1) dt $
ora pensiamo che
$t^4/(t^2+1)=t^2-1+1/(t^2+1)$
abbiamo
$=1/4 t^4 arctg t - 1/4 int (t^2-1+1/(t^2+1))dt=$
$=1/4 t^4 arctg t-1/12 t^3 +1/4 t-1/4 arctg t$
ora che li abbiamo risolti entrambi si torna alla $x$ e se non ho sbagliato i calcoli (cosa che alla mia età succede spesso purtroppo) dovresti avere
$(1/2 t^4 +t^2+1/2) arctg (t) -1/2 t -1/6t^3$
dove alla $t$ basta sostituire $sqrt(x-1)$
ti torna??
ciao!
$int t arctg t dt =$
$= t^2/2 arctg t -1/2 int t^2/(1+t^2) dt =$
ora pensiamo che
$t^2/(1+t^2) = 1-1/(1+t^2)$ e abbiamo
$=t^2/2 arctg t -1/2 t +1/2 arctg t $
ho fatto i calcoli un po' veloci e a mente... spero di non aver sbagliato nulla... ricontrolla!!
L'altro integrale:
$int t^3 arctg t dt =$
$= t^4/4 arctg t -1/4 int t^4/(t^2+1) dt $
ora pensiamo che
$t^4/(t^2+1)=t^2-1+1/(t^2+1)$
abbiamo
$=1/4 t^4 arctg t - 1/4 int (t^2-1+1/(t^2+1))dt=$
$=1/4 t^4 arctg t-1/12 t^3 +1/4 t-1/4 arctg t$
ora che li abbiamo risolti entrambi si torna alla $x$ e se non ho sbagliato i calcoli (cosa che alla mia età succede spesso purtroppo) dovresti avere
$(1/2 t^4 +t^2+1/2) arctg (t) -1/2 t -1/6t^3$
dove alla $t$ basta sostituire $sqrt(x-1)$
ti torna??
ciao!
Ho rifatto i calcoli e ora mi torna , grazie mille .
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