Integrale

[Thomas16]

Allora, sicuramente voi farete molto in fretta a rispondermi. So che probabilmente quando mi direte la sol mi dirò: 'Che babbo a nn esserci arrivato da solo!',cmq sono scusato, dato che questi argomenti nn sono ancora stati svolto nella mia scuola.
Bando alle ciance, come si calcola l'integrale indefinito
int 1/rad(x^2+a^2)
Ce ne sono anche altri simili ma penso dello stesso tipo.
Ah: operazione ammesse: tutte quelle del programma di quinta superiore(sostituzione, parti,...).

Thx

p.s.: la sol numerica la conosco ma derivare per poi verificare che è esatta nn mi sembra un 'onesto' metodo di risoluzione.

[Sk_Anonymous]

Vi sono vari modi,eccone uno( ometto il differenziale).
Poniamo sqrt(a^2+x^2)=x+t;da qui con qualche calcolo
si ricava:
(1) x=(a^2-t^2)/(2*t)
ed anche sqrt(a^2+x^2)=x+t=(a^2+t^2)/(2*t)
Differenziando la (1) si ha:
dx=-(a^2+t^2)/(2*t^2)*dt
Sostituendo il tutto nell'integrale, risulta:
int(1/sqrt(a^2+x^2))=int((2*t)/(a^2+t^2))*(-(a^2+t^2)/(2*t^2))
ovvero:
int(1/sqrt(a^2+x^2))=-int(1/t)=ln(|1/t|)+C
ma t=sqrt(a^2+x^2)-x--->1/t=((sqrt(a^2+x^2)+x))/a^2).
Concludendo:
int(1/sqrt(a^2+x^2))=ln(|(sqrt(a^2+x^2)+x|/(a^2))+C.
karl.

[Thomas16]

Ah! Mi sono dimenticato di ringraziare!!!!!