Insiemi differenza complementari
Salve, sto studiando la differenza di insiemi e quelli complementari.
Da ciò che ho capito la differenza tra un insieme A e B è tale che ciò che è contenuto in A non è contenuto in B, giusto? L'insieme complementare è quando ad esempio A è sottoinsieme di B, ciò che non fa parte di A sarebbe l'insieme complementare di A, giusto anche questo? Non riesco a capire questa spiegazione:
( A U B)^c = A^c intersezione B^c
(A intersezione B)^c = A^c U B^c
A^c intersezione B = B / A
A^c U B = (A/B)^c
Non riesco a capire perchè vengono queste uguaglianze, potreste darmi qualche delucidazione? Grazie
Da ciò che ho capito la differenza tra un insieme A e B è tale che ciò che è contenuto in A non è contenuto in B, giusto? L'insieme complementare è quando ad esempio A è sottoinsieme di B, ciò che non fa parte di A sarebbe l'insieme complementare di A, giusto anche questo? Non riesco a capire questa spiegazione:
( A U B)^c = A^c intersezione B^c
(A intersezione B)^c = A^c U B^c
A^c intersezione B = B / A
A^c U B = (A/B)^c
Non riesco a capire perchè vengono queste uguaglianze, potreste darmi qualche delucidazione? Grazie
Risposte
"chia.chia.chia":
Salve, sto studiando la differenza di insiemi e quelli complementari.
Da ciò che ho capito la differenza tra un insieme A e B è tale che ciò che è contenuto in A non è contenuto in B, giusto?
Non l’hai espresso bene.
In una definizione si dice:
- [*:2qud1cwc] ciò che l’oggetto è, innanzitutto;
[/*:m:2qud1cwc]
[*:2qud1cwc] com’è fatto tale oggetto, sfruttando la proprietà che lo caratterizza;
[/*:m:2qud1cwc]
[*:2qud1cwc] con quale simbolo si denota l’oggetto definito (se serve introdurre un nuovo simbolo).[/*:m:2qud1cwc][/list:u:2qud1cwc]
Una definizione di differenza tra gli insiemi $A$ e $B$ che segue questo schema è la seguente:
Siano $A$ e $B$ due insiemi.
La differenza tra $A$ e $B$ è l’insieme (ciò che l’oggetto definito è) che ha per elementi gli elementi di $A$ che non appartengono anche a $B$ (proprietà che caratterizza l’oggetto definito).
La differenza di $A$ e $B$ si denota col simbolo $A-B$ oppure col simbolo $A setminus B$ (simboli che servono per scrivere l’oggetto definito).
"chia.chia.chia":
L'insieme complementare è quando ad esempio A è sottoinsieme di B, ciò che non fa parte di A sarebbe l'insieme complementare di A, giusto anche questo?
Anche qui, devi esprimerti meglio.
Non è puntiglio, ma una questione importante: il modo in cui ti esprimi, le parole che usi, plasmano il tuo modo di vedere le cose; quindi meglio ti esprimi, più chiaramente le vedi.
Anche qui, la definizione può essere data meglio:
Siano $A$ e $B$ due insiemi tali che $A subseteq B$.
Il complementare di $A$ rispetto a $B$ è l’insieme formato dagli elementi di $B$ che non appartengono ad $A$, cioè l’insieme $B-A$.
L’insieme complementare di $A$ rispetto a $B$ si denota col simbolo \(\complement_B(A)\), quindi \(\complement_B(A) = B - A\).
Se non c’è bisogno di specificare l’insieme “più grande” $B$ rispetto al quale è calcolato il complementare, si usano i simboli più semplici \(\complement(A)\) o $A^c$.
"chia.chia.chia":
Non riesco a capire questa spiegazione:
( A U B)^c = A^c intersezione B^c
(A intersezione B)^c = A^c U B^c
A^c intersezione B = B / A
A^c U B = (A/B)^c
Non riesco a capire perchè vengono queste uguaglianze, potreste darmi qualche delucidazione? Grazie
Hai provato a fare dei diagrammi di Venn?
Sai come si usano i diagrammi di Venn per fare dimostrazioni grafiche di relazioni tra insiemi?
Inoltre, attenzione alle parole che usi qui:
"chia.chia.chia":
Non riesco a capire questa spiegazione
Quella che tu chiami “spiegazione” non è una spiegazione, ma sono delle uguaglianza che valgono quando calcoli i complementi… E vanno dimostrate!
grazie mille per le delucidazioni, ho segnato e ripetuto tutto.
Ho studiato i diagrammi di Eulero Veen, ma non capisco come dimostrare le uguaglianze a livello pratico, se all'esame mi capita un esercizio così il professore cosa richiede?
Il titolo dell'esercizio è il seguente: siano A e B 2 sottoinsiemi di S si provi per esercizio che:
come devo fare? Grazie tante per l'aiuto
Ho studiato i diagrammi di Eulero Veen, ma non capisco come dimostrare le uguaglianze a livello pratico, se all'esame mi capita un esercizio così il professore cosa richiede?
Il titolo dell'esercizio è il seguente: siano A e B 2 sottoinsiemi di S si provi per esercizio che:
come devo fare? Grazie tante per l'aiuto
"chia.chia.chia":
grazie mille per le delucidazioni, ho segnato e ripetuto tutto.
Grazie.
Me tieni presente che si studia dal libro.
"chia.chia.chia":
Ho studiato i diagrammi di Eulero Veen, ma non capisco come dimostrare le uguaglianze a livello pratico [...]
come devo fare? Grazie tante per l'aiuto
Supponiamo tu voglia dimostrare la relazione $A^c cup B^c = (A cap B)^c$ (in cui si intende che ognuno degli insiemi $A$ e $B$ è pensato come sottoinsieme di un insieme più grande, usualmente detto insieme universo e denotato con $U$, rispetto al quale sono calcolati i complementi) sfruttando i diagrammi di Venn.
Innanzitutto, rappresenta i due insiemi $A$, $B$ e l'insieme universo $U$ che li contiene[nota]Qui sul forum ti disegno gli insiemi con dei rettangoli, perché così sono più facili da colorare; però tu sul quaderno puoi scegliere di usare gli ovali che si usano di solito.[/nota]:
[asvg]noaxes();
strokewidth=2;
rect([-5,-4],[5,4]); text([-5,-4],"U",below);
stroke="red"; rect([-3,-3],[1,1]); text([-3,-3],"A",aboveright);
stroke="dodgerblue"; rect([-1,-1],[3,3]); text([3,3],"B",belowleft);[/asvg]
e di questa rappresentazione fanne due copie affiancate.
Nella prima copia calcola graficamente l'insieme corrispondente al primo membro dell'uguaglianza da dimostrare, cioè $A^c cup B^c$.
Per fare ciò, tratteggia con tratteggi diversi gli insiemi $A^c$:
[asvg]noaxes();
strokewidth=2;
fill="orange"; rect([-5,-4],[5,4]); text([-5,-4],"U",below);
stroke="dodgerblue"; rect([-1,-1],[3,3]); text([3,3],"B",belowleft);
stroke="red"; fill="white"; rect([-3,-3],[1,1]); text([-3,-3],"A",aboveright); text([-4,3],"A^c");[/asvg]
e $B^c$:
[asvg]noaxes();
strokewidth=2;
fill="cyan"; rect([-5,-4],[5,4]); text([-5,-4],"U",below);
stroke="red"; rect([-3,-3],[1,1]); text([-3,-3],"A",aboveright);
stroke="dodgerblue"; fill="white"; rect([-1,-1],[3,3]); text([3,3],"B",belowleft); text([-4,3],"B^c");[/asvg]
e poi fanne l'unione, il che significa considera tutto l'insieme tratteggiato (con uno solo od entrambi i tratteggi contemporaneamente):
[asvg]noaxes();
strokewidth=2;
fill="lightgrey"; rect([-5,-4],[5,4]); text([-5,-4],"U",below);
fill="none"; stroke="red"; rect([-3,-3],[1,1]); text([-3,-3],"A",aboveright);
stroke="dodgerblue"; rect([-1,-1],[3,3]); text([3,3],"B",belowleft); text([-4,3],"A^c U B^c");
strokewidth=1; stroke="white"; fill="white"; rect([-0.95,-0.95],[0.95,0.95]);[/asvg]
Nell'altra copia del diagramma, tratteggia il secondo membro dell'uguaglianza, cioè $(A cap B)^c$:
[asvg]noaxes();
strokewidth=2;
fill="lime"; rect([-5,-4],[5,4]); text([-5,-4],"U",below);
fill="none"; stroke="red"; rect([-3,-3],[1,1]); text([-3,-3],"A",aboveright);
stroke="dodgerblue"; rect([-1,-1],[3,3]); text([3,3],"B",belowleft); text([-4,3],"A^c U B^c");
strokewidth=1; stroke="white"; fill="white"; rect([-0.95,-0.95],[0.95,0.95]);[/asvg]
Visto che le due regioni colorate in grigio ed in verde sono uguali, da ciò si deduce graficamente che $A^c cup B^c =(A cap B)^c$.
Le altre relazioni si "dimostrano" allo stesso modo.
"chia.chia.chia":
[...] se all'esame mi capita un esercizio così il professore cosa richiede?
Scusa, ma che studi?
Poi, conviene parlare con il docente per chiarire cose come questa.
"chia.chia.chia":
Il titolo dell'esercizio è il seguente: siano A e B 2 sottoinsiemi di S si provi per esercizio che:
Questo non è un "titolo", casomai è un "testo".
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