Insiemi

[CommisarioBasettoni]

Ed eccomi con il primo quesito

Studiavo le proprietà delle operazioni su insiemi e sono giunto a questa (i libri che uso sono "Elementi di Algebra", "Geometria" e "Insiemi , Logica , Relazioni, Funzioni" della Scovenna):
Proprietà di assorbimento: $\forall A, B$ abbiamo che $ A \cap (A \cup B) = A$

Volendo capire meglio questa uguaglianza ho fatto il seguente ragionamento:
$A \cap (A \cup B) = (A \cap A) \cup (A \cap B)$ (applico la proprietà distribuitiva dell'intersezione rispetto all'unione.
Applicando la proprietà di Idempotenza abbiamo che $A \cap A = A$ per cui possiamo scrivere $(A \cap A) \cup (A \cap B) = A \cup (A \cap B)$
Resta ora il dilemma di $A \cap B$ per cui ho considerato 3 casi:
1) $A = B$ da cui $A \cup (A \cap A) = A$ per idempotenza
2) $A \subseteq B$ da cui $A \cup (A \cap B) = A \cup A = A$
3) $B \subseteq A$ da cui $A \cup (A \cap B) = A \cup B = A$
Tutti e 3 i casi portano a dire che $A \cap (A \cup B) = A$

Ho fatto dei passaggi inutili? E' un modo scorretto di ragionare?

[cozzataddeo]

Secondo me nella parte finale puoi evitare di considerare i 3 casi tenendo conto che vale sempre

$A \cap B \subseteq A$

e che l'unione di un insieme con un suo sottinsieme dà l'insieme stesso. Da cui la tua tesi.

[CommisarioBasettoni]

"Cozza Taddeo":Secondo me nella parte finale puoi evitare di considerare i 3 casi tenendo conto che vale sempre

$A \cap B \subseteq A$

e che l'unione di un insieme con un suo sottinsieme dà l'insieme stesso. Da cui la tua tesi.

Giustissimo o.O
Come ho fatto a non pensarci!!!
Grazie

[cozzataddeo]

Di niente.
Buona matematica!

[03478447701]

Ciao , come dimostrare invece che A∪(A∩B)?
attraverso la proprieta' distributiva ovviamente avro' che (A∪A)∩(A∪B) quindi A∩(A∪B)

poi devo specificare i 3 casi?

1) A=B da cui A∩(A∪A)=A per idempotenza
2) A⊆B da cui A∩(A∪B)=A∩A=A
3) B⊆A da cui A∩(A∪B)=A∩B=A
Tutti e 3 i casi ci dicono che A∩(A∪B)=A

E' cosi?
grazie mille