Insiemi

[gabrixxx]

chi mi spiaga questo esercizio per favore?
in R sia dato l'insieme X=[1;5[ UNIONE N dove N è l'insieme dei numeri naturali.

perche x=1 è punto isolato di X? grazie anticipatamenti a chiunque risponda.



considerando un altro esercizio
Sia N = { 0,1,2,3,4,...} e sia data la relazione binaria R su N definita dalla legge: nRm implica N

[xico87]

1)un punto è isolato se non è di accumulazione

un punto è di accumulazione per E se in ogni suo intorno cadono infiniti punti di E

di solito si intendono intorni circolari, quindi dovrebbe essere di accumulazione, però se prendi alla lettera la definizione puoi anche considerare un intorno laterale (sinistro), pertanto risulterebbe isolato. sono comunque propenso a pensare che sia di accumulazione.

2) sei sicuro che non sia n

[ciampax]

1) C'è qualcosa che non mi torna: se

[math]X=[1,5)\cup\mathbb{N}[/math]

puoi anche scriverlo come

[math]X=[1,5]\cup\{6,7,8,9,10,\ldots\}[/math]

Ma allora 1 è punto di accumulazione (è l'estremo di un intervallo), quindi non può essere isolato. Sei sicuro di quello che chiedi?

In ogni caso un punto

[math]x_0\in A\subset\mathbb{R}[/math]

si dice isolato se esiste

[math]\varepsilon>0[/math]

tale che

[math]A\cap(1-\varepsilon,1+\varepsilon)=\emptyset[/math]

. Quindi dalla definizione stess si vede che il punto 1 non è isolato in X.


2) Una relazione è antisimmetrica se, avendosi

[math]n\mathbb{R} m,\ m\mathbb{R} n[/math]

segue che

[math]n=m[/math]

.
In questo caso si ha

[math]n\mathbb{R} m,\ m\mathbb{R} n\Rightarrow n\leq m+3, m\leq n+3[/math]

da cui sommando membro a membro

[math]n+m\leq n+m+6\Rightarrow 0\leq 6[/math]

che è sempre vera, e quindi

[math]n=m[/math]

.

La relazione è quindi riflessiva ed antisimmetrica (del resto è la relazione di minore o uguale, che è una relazione di ordine parziale, e quindi gode di queste due proprietà!)