Insieme immagine
Vi propongo il seguente quesito:
L'insieme immagine di f: [-2, 4) in R definita da f(x) = x*e^(-x) è?
Penso c'entri lo studio della derivata..qualcuno mi sa dire come si risolve? Grazie
L'insieme immagine di f: [-2, 4) in R definita da f(x) = x*e^(-x) è?
Penso c'entri lo studio della derivata..qualcuno mi sa dire come si risolve? Grazie
Risposte
data una funzione X---> Y l'insieme immagine (chiamiamolo I) è l'insieme di tutti gli elementi di Y che sono immagine di un elemento di X, ossia
$I = {y: y in Y$ t.c. $AA y in $I $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
$I = {y: y in Y$ t.c. $AA y in $I $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
Utilizzando la derivata puoi osservare che per $x = 1$ la funzione ha un massimo.
Quindi nell'intervallo $[-2, 1]$ la funzione è crescente mentre nell'intervallo $[1, 4]$ è decrescente.
L'insieme immagine di conseguenza è $[-2 e^2, 1/e]$.
Quindi nell'intervallo $[-2, 1]$ la funzione è crescente mentre nell'intervallo $[1, 4]$ è decrescente.
L'insieme immagine di conseguenza è $[-2 e^2, 1/e]$.
"wedge":
data una funzione X---> Y l'insieme immagine (chiamiamolo I) è l'insieme di tutti gli elementi di Y che sono immagine di un elemento di X, ossia
$I = {y: y in Y$ t.c. $AA y in $I $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
wedge : ineccepibile la tua risposta ; però, forse non chiarissima per chi non abbia un po' di esperienza
ok, però non mi è chiaro come si ricavano gli estremi dell'insieme immagine...cioè i punti -2*e^2 e il punto 1/e....cosa (e dove) devo sostituire per ricavarli?
"Chiara87":
ok, però non mi è chiaro come si ricavano gli estremi dell'insieme immagine...cioè i punti -2*e^2 e il punto 1/e....cosa (e dove) devo sostituire per ricavarli?
La funzione è crescente tra -2 e 1, ed essendo continua assumerà tutti i valori compresi tra i valori della funzione in questi due estremi.
Quindi $f(-2) = -2 e^-(-2) = -2 e^2$ e $f(1) = 1 e^-1 = 1/e$.
I valori assunti nel secondo tratto, come facilmente verificabile, sono contenuti anch'essi in questo intervallo.
Eredir ha detto che in $[-2,1]$ la funzione è crescente : calcola i valori : f(-2) e f(1) .
Invece in $ [ 1,4] $ la funzione è decrescente : calcola f(4).
se fai un grafico ètutto più chiaro.
Il valore f(1) è quindi un max per la funzione e sarà pure il valore max dell'insieme immagine .
verifica poi quale tra f(-2) e f(4 ) è il valore min9mo assunto dalla funzione.
L'insieme immagine sarà costituito da tutti i valori compresi tra il minimo e il max e quindi l'intervallo...
Invece in $ [ 1,4] $ la funzione è decrescente : calcola f(4).
se fai un grafico ètutto più chiaro.
Il valore f(1) è quindi un max per la funzione e sarà pure il valore max dell'insieme immagine .
verifica poi quale tra f(-2) e f(4 ) è il valore min9mo assunto dalla funzione.
L'insieme immagine sarà costituito da tutti i valori compresi tra il minimo e il max e quindi l'intervallo...
Ok perfetto, ho capito....grazie 1000!!!!
HA! vi ho beccato! 
wedge (ancora stanco dei due passi fatti) ha scritto:
$I = {y: y in Y$ t.c. $AA y in $I $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
e camillo (distratto da chi gli del "lei") ha commentato "ineccepibile"
invece non va bene (c'è un quantificatore di troppo e c'è $I$ dentro le graffe, cioè là dove si sta definendo $I$...)
così mi sembra meglio:
$I = {y in Y$ t.c. $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
o magari anche così
$I = {y: y in Y$ e $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
Nota seria per Chiara87:
- se non ti eri accorta della formalizzazione non corretta, poco male, succede
wedge (ancora stanco dei due passi fatti) ha scritto:
$I = {y: y in Y$ t.c. $AA y in $I $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
e camillo (distratto da chi gli del "lei") ha commentato "ineccepibile"
invece non va bene (c'è un quantificatore di troppo e c'è $I$ dentro le graffe, cioè là dove si sta definendo $I$...)
così mi sembra meglio:
$I = {y in Y$ t.c. $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
o magari anche così
$I = {y: y in Y$ e $ EE x in X$ per cui $y=f(x) } $
Nota seria per Chiara87:
- se non ti eri accorta della formalizzazione non corretta, poco male, succede
Beccato !! 
La fretta è sempre cattiva consigliera, in Matematica poi ...
La fretta è sempre cattiva consigliera, in Matematica poi ...
"camillo":
Beccato !!
La fretta è sempre cattiva consigliera, in Matematica poi ...
già
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