Implicazione logica
Buongiorno a tutti. Un esercizio di logica dove posso scegliere solo V o F propone la seguente implicazione:
"Se un numero è pari, allora è multiplo di 4."
Se considero "un numero è pari" vera, "è multiplo di 4" è falso: il 2 è pari, ma non multiplo di 4. Dunque l'implicazione è falsa.
Tuttavia, penso sia possibile anche il caso opposto: ad esempio, se si considera 7, esso non è né pari né multiplo di 4 e, quindi, le due proposizioni sarebbero false. Il problema è che, a questo punto, l'implicazione sarebbe vera: cosa dovrei scegliere in ultima analisi? Vero o falso? Grazie per l'aiuto!
"Se un numero è pari, allora è multiplo di 4."
Se considero "un numero è pari" vera, "è multiplo di 4" è falso: il 2 è pari, ma non multiplo di 4. Dunque l'implicazione è falsa.
Tuttavia, penso sia possibile anche il caso opposto: ad esempio, se si considera 7, esso non è né pari né multiplo di 4 e, quindi, le due proposizioni sarebbero false. Il problema è che, a questo punto, l'implicazione sarebbe vera: cosa dovrei scegliere in ultima analisi? Vero o falso? Grazie per l'aiuto!
Risposte
Non conosco il testo esatto del problema ma in generale quando si chiede di rispondere solo con vero o falso si intende chiedere se la proposizione (l'implicazione nel nostro caso) sia SEMPRE vera, in pratica una tautologia.
Nel caso in questione non sempre lo è quindi la risposta da dare è F.
Cordialmente, Alex
Nel caso in questione non sempre lo è quindi la risposta da dare è F.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non conosco il testo esatto del problema ma in generale quando si chiede di rispondere solo con vero o falso si intende chiedere se la proposizione (l'implicazione nel nostro caso) sia SEMPRE vera, in pratica una tautologia.
Nel caso in questione non sempre lo è quindi la risposta da dare è F.
Cordialmente, Alex
Capisco. Il testo del problema, comunque, è solo quello: sul libro è scritto che è tratto dalle INVALSI del 2013. Grazie comunque per la risposta. Posso, comunque, chiederti se il mio ragionamento, almeno in linea di principio, sia giusto?
Grazie e buona giornata
Sì ma prima di tutto va compresa bene la richiesta.
"axpgn":
Sì ma prima di tutto va compresa bene la richiesta.
La consegna è: "Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa." Null'altro viene detto. Da così poche parole è difficile intendere altro.
"Ema2003":
[quote="axpgn"]Sì ma prima di tutto va compresa bene la richiesta.
La consegna è: "Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa." Null'altro viene detto. Da così poche parole è difficile intendere altro.[/quote]
Ciao Ema2003,
Ad (quasi) ogni proposizione \(A\), si può assegnare un valore di verità (V=vero oppure F=falso).
Inoltre puoi incatenare più proposizioni con dei connettivi logici, come l'implicazione, i.e. "Se \(A\) Allora \(B\)" che si scrive solitamente \( A \Rightarrow B \). Ma anche altre, ad esempio la congiunzione logica, i.e. "\(A\) e \(B\)", etc.
Motivazione allo studio delle logica proposizionale:
Perché è importante studiare la logica proposizionale in matematica? Perché a differenza di quanto spesso si pensi, la matematica non è risolvere equazioni bensì costruire delle teorie coerenti. Ovvero essere in grado di determinare se una data proposizione è vera oppure falsa (ma non può essere contemporaneamente entrambe che è il significato di coerente).
Come si determina in matematica se una proposizione è vera o falsa?
Con le dimostrazioni. Una dimostrazione è una successione di proposizione connesse tra loro con dei connettivi logici di cui si conosce già il valore di verità. Come vengono chiamate le proposizioni veri in matematica? Teoremi, lemmi, corollari, proposizioni (per l'appunto).
In modo un po' informale:
Generalmente ciascuna di queste proposizioni possiede delle ipotesi. Date delle ipotesi, queste portano ad una conclusione. A noi ci interessa capire se considerate vere le ipotesi la proposizione ipotesi portano alla conclusione è vera.
Quali sono le ipotesi? Date due proposizioni \(A\) e \(B\), formiamo la proposizione seguente:
Se \(A\) allora \(B\).
In questo caso le ipotesi sono \(A\), mentre la conclusione è \(B\).
Qual'è la tabella di verità di \(A \Rightarrow B \) = "Se \( A \) allora \(B\)" ?
Valore di Verità di \(A\) | Valore di Verità di \(B\) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- F ----------|---------- F -----------| ----------- V ----------------------
-------------------------------------------------------------------------------------
---------- F ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Come puoi notare se le ipotesi \(A\) sono false allora la proposizione \( A \Rightarrow B\) è sempre vera!!
Per questo motivo, quando hai una proposizione "Se \(A\) allora \(B\)", l'unico caso interessante da studiare, ed è poi quella che a te interessa è fissare il valore di verità di \(A\) come vero!
A te interessa sapere sostanzialmente se è vero che le ipotesi ti portano alla conclusione.
Quindi date per vero le ipotesi è vera la conclusione? Se le ipotesi sono false, ovvero \(A\) è falso, a priori non puoi concludere nulla sul valore di verità di \(B\), potrebbe essere sia vera che falsa, e il valore di verità di \(A \Rightarrow B \) rimane vero.
Quindi nel tuo caso specifico "Se un numero è pari, allora è un multiplo di 4"
Le ipotesi sono: "è un numero pari". Consideralo come vero, come una cosa che osservi e sai che è il caso.
La conclusione: "lo stesso numero è un multiplo di 4". Ogni volta che osservi un numero pari è anche un multiplo di 4?
Date per vero le ipotesi è vera la conclusione? No perché puoi trovare un numero pari, il \(2\) ad esempio, che soddisfa le ipotesi ma che non soddisfa la conclusione.
Vale la pena fare una precisazione
La proposizione "Se A allora B" non può avere più valori di verità, anche se dalla tabella può sembrare, il suo valore di verità è determinato da queste due linee della tabella
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Mi spiego meglio. Riprendiamo il tuo esempio.
"Se \(n\) è un numero pari, allora \(n\) è un multiplo di 4".
Ma è la stessa cosa di dire
"Per ogni \(n\) pari, allora \(n\) è un multiplo di 4".
E questa frase è falsa sicuramente! Non è mai vera. Se prendi
"Se \(7\) è un numero pari, allora \(7\) è un multiplo di 4"
è una proposizione differente dalla tua proposizione perché fissi un valore specifico di \(n\), dici che è uguale a \(7\).
Sostanzialmente stai considerando solo il caso in cui \(n=7\). In questo caso specifico hai dei valori di verità assegnati (non puoi "deciderli tu") perché puoi verificarlo "manualmente" che \(7\) è pari oppure dispari, e puoi verificarlo che \(7\) è un multiplo di 4 oppure no. E non puoi cambiare i valori di verità della frase "\(7 \) è pari". Quest'ultima è falsa, punto! Come è falsa che \(7\) è un multiplo di \(4\).
Ma quando non hai un "informazione" sul tuo valore di verità, ovvero quando \(A\) e \(B\) potrebbero essere qualunque cosa. Allora il valore di verità della proposizione \(A \Rightarrow B\) è determinato da
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
Sostanzialmente quando potresti avere un qualsiasi numero, fissa le ipotesi come vere. Se hai un numero specifico determina il valore di verità.
Spero di essermi spiegato. Se hai dubbi chiedi pure.
"3m0o":
Ovvero essere in grado di determinare se una data proposizione è vera oppure falsa (ma non può essere contemporaneamente entrambe che è il significato di coerente).
"3m0o":
"Se \( A \) allora \( B \)" ?
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- F ----------|---------- F -----------| ----------- V ----------------------
-------------------------------------------------------------------------------------
---------- F ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Come puoi notare se le ipotesi \( A \) sono false allora la proposizione \( A \Rightarrow B \) è sempre vera!!
La proposizione "Se A allora B" non può avere più valori di verità, anche se dalla tabella può sembrare, il suo valore di verità è determinato da queste due linee della tabella
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Mi spiego meglio. Riprendiamo il tuo esempio.
"Se \(n\) è un numero pari, allora \(n\) è un multiplo di 4".
Ma è la stessa cosa di dire
"Per ogni \(n\) pari, allora \(n\) è un multiplo di 4".
E questa frase è falsa sicuramente! Non è mai vera. Se prendi
"Se \(7\) è un numero pari, allora \(7\) è un multiplo di 4"
è una proposizione differente dalla tua proposizione perché fissi un valore specifico di \(n\), dici che è uguale a \(7\).
Sostanzialmente stai considerando solo il caso in cui \(n=7\). In questo caso specifico hai dei valori di verità assegnati (non puoi "deciderli tu") perché puoi verificarlo "manualmente" che \(7\) è pari oppure dispari, e puoi verificarlo che \(7\) è un multiplo di 4 oppure no. E non puoi cambiare i valori di verità della frase "\(7 \) è pari". Quest'ultima è falsa, punto! Come è falsa che \(7\) è un multiplo di \(4\).
Ma quando non hai un "informazione" sul tuo valore di verità, ovvero quando \(A\) e \(B\) potrebbero essere qualunque cosa. Allora il valore di verità della proposizione \(A \Rightarrow B\) è determinato da
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
Sostanzialmente quando potresti avere un qualsiasi numero, fissa le ipotesi come vere. Se hai un numero specifico determina il valore di verità.
Spero di essermi spiegato. Se hai dubbi chiedi pure.
"3m0o":
Vale la pena fare una precisazione
[quote="3m0o"] Ovvero essere in grado di determinare se una data proposizione è vera oppure falsa (ma non può essere contemporaneamente entrambe che è il significato di coerente).
"3m0o":
"Se \( A \) allora \( B \)" ?
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- F ----------|---------- F -----------| ----------- V ----------------------
-------------------------------------------------------------------------------------
---------- F ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Come puoi notare se le ipotesi \( A \) sono false allora la proposizione \( A \Rightarrow B \) è sempre vera!!
La proposizione "Se A allora B" non può avere più valori di verità, anche se dalla tabella può sembrare, il suo valore di verità è determinato da queste due linee della tabella
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Mi spiego meglio. Riprendiamo il tuo esempio.
"Se \(n\) è un numero pari, allora \(n\) è un multiplo di 4".
Ma è la stessa cosa di dire
"Per ogni \(n\) pari, allora \(n\) è un multiplo di 4".
E questa frase è falsa sicuramente! Non è mai vera. Se prendi
"Se \(7\) è un numero pari, allora \(7\) è un multiplo di 4"
è una proposizione differente dalla tua proposizione perché fissi un valore specifico di \(n\), dici che è uguale a \(7\).
Sostanzialmente stai considerando solo il caso in cui \(n=7\). In questo caso specifico hai dei valori di verità assegnati (non puoi "deciderli tu") perché puoi verificarlo "manualmente" che \(7\) è pari oppure dispari, e puoi verificarlo che \(7\) è un multiplo di 4 oppure no. E non puoi cambiare i valori di verità della frase "\(7 \) è pari". Quest'ultima è falsa, punto! Come è falsa che \(7\) è un multiplo di \(4\).
Ma quando non hai un "informazione" sul tuo valore di verità, ovvero quando \(A\) e \(B\) potrebbero essere qualunque cosa. Allora il valore di verità della proposizione \(A \Rightarrow B\) è determinato da
Valore di Verità di \( A \) | Valore di Verità di \( B \) | Valore di verità di \( A \Rightarrow B \)
---------- V ----------|---------- F -----------| ----------- F ----------------------
------------------------------------------------------------------------------------
---------- V ----------|---------- V -----------| ----------- V ----------------------
Sostanzialmente quando potresti avere un qualsiasi numero, fissa le ipotesi come vere. Se hai un numero specifico determina il valore di verità.
Spero di essermi spiegato. Se hai dubbi chiedi pure.[/quote]
Carissimo, anzitutto ti ringrazio per l'enorme volontà e voglia di fare: hai scritto due post abnormi per una persona che nemmeno conosci in cambio di nulla. Se tutti fossimo come te, il nostro mondo sarebbe davvero "il migliore dei mondi possibili" come diceva Leibniz (e, prima di lui, Platone, malgrado sia poco risaputo.)
Ti ringrazio davvero davvero tanto anche perché mi hai chiarito una cosa che non capivo, vale a dire appunto il modo di procedere quando si hanno informazioni precise (come "n=7") e, per converso, quando si parla in generale ("n"). Non smetterò mai di ringraziarti. Per ora tutto chiaro; stasera mi metto a fare un po' di esercizi di logica e, eventualmente, se avessi problemi, potrei scriverti in privato (ovviamente mi risponderai quando hai tempo e voglia; ahimè sono costretto a dedicarmi alla logica la sera per una molteplicità di motivi.)
Ad ogni modo, per ora ti auguro un buon proseguimento di giornata ed un buon weekend. Di nuovo grazie tante!
Figurati, mi è sempre piaciuto spiegare le cose, e ho sempre trovato persone che le spiegassero a me, inoltre il mio libro di Algebraic number theory dice la seguente cosa nella prefazione:
Siccome io sono studente e di soldi non ne ho da dare, preferisco condividere la mia conoscenza per una buona causa
Tu se hai bisogno chiedi pure!
Edit: È un libro introduttivo all'algebra non di algebraic number theroy, scusa!
The price of this book
If you have the time and opportunity to study abstract algebra, it is likely that you are not hungry, cold and sick.This book is being offered free of charge for your use. In exchange, if you make serious use of this book, please make a contribution to relieving the misery of the world. For example, you could make a financial contribution to an organization such as Unicef, Doctors without Borders, Partners in Health, or Oxfam, or to an equivalent organization in your country. Or you could find a way to volunteer your time and knowledge instead.
Siccome io sono studente e di soldi non ne ho da dare, preferisco condividere la mia conoscenza per una buona causa
Tu se hai bisogno chiedi pure!
Edit: È un libro introduttivo all'algebra non di algebraic number theroy, scusa!
"3m0o":
Figurati, mi è sempre piaciuto spiegare le cose, e ho sempre trovato persone che le spiegassero a me, inoltre il mio libro di Algebraic number theory dice la seguente cosa nella prefazione:
The price of this book
If you have the time and opportunity to study abstract algebra, it is likely that you are not hungry, cold and sick.This book is being offered free of charge for your use. In exchange, if you make serious use of this book, please make a contribution to relieving the misery of the world. For example, you could make a financial contribution to an organization such as Unicef, Doctors without Borders, Partners in Health, or Oxfam, or to an equivalent organization in your country. Or you could find a way to volunteer your time and knowledge instead.
Siccome io sono studente e di soldi non ne ho da dare, preferisco condividere la mia conoscenza per una buona causa
Tu se hai bisogno chiedi pure!
Edit: È un libro introduttivo all'algebra non di algebraic number theroy, scusa!
Bellissima frase! Posso dirti che è per una buona causa, a mio parere. Vorrei tentare la strada dell'economia e devo riprendermi un po' tutta matematica. Grazie al tuo aiuto, stai contribuendo all'attualizzazione del mio progetto di vita, il che, credo, è una cosa molto bella. Comunque, sto iniziando a fare qualche esercizio di logica; ti faccio sapere, ma non voglio disturbarti per inezie. Buona serata!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo