Identità logaritmica

[scuola1234]

Buonasera qualcuno per favore potrebbe chiarirmi le idee su come si risolve l'identità tra una potenza elevata a un logaritmo con base diversa da essa?
Per esempio
$ a^(log (c) b) =b^(log (c) a )$
Avevo provato a elevare $ a $ alla $ c $ elevato ai logaritmi. C'è qualche proprietà nello specifico da applicare? Oppure devo cambiare base?
Grazie mille

[axpgn]

[size=150]$a^(log_c b)=b^(log_c a)\ ->\ log_c a^(log_c b)=log_c b^(log_c a)\ ->\ log_c b * log_c a = log_c a * log_c b$[/size]

Cancella il doppione ...

[scuola1234]

Di quale proprietà si tratta? Perché si può scrivere così? Grazie mille

[axpgn]

Se due numeri (positivi) sono uguali allora lo saranno anche i loro logaritmi (nella stessa base).
Poi ho applicato una delle proprietà fondamentali dei logaritmi ... $log a^n = n*log a$

[scuola1234]

Grazie mille ma in quest'altro caso
$ a^(log (1/a) b) =1/b $
come scrivo il secondo membra? Il primo logaritmo lo scrivo così $ log (1/b) a^(log (1/b) b)$ ?grazie e scusi

[axpgn]

È questa [size=150]$a^(log_(1/a) b) = 1/b$[/size] ?

Se è così allora come fatto precedentemente prendiamo il logaritmo di entrambi i membri (in base $a$):

[size=150]$log_a a^(log_(1/a) b) = log_a (1/b)$[/size]

Adesso usiamo le proprietà fondamentali dei logaritmi:

[size=150]$(log_(1/a) b) * log_a a = log_(a) 1 - log_a b$ [/size]

che equivale a:

[size=150]$(log_(1/a) b) * 1 = 0 - log_a b$[/size]

Ora usiamo la formula del cambiamento di base per uniformare i due membri:

[size=150]$log_(1/a) b = (log_a b)/(log_a (1/a)) \ ->\ log_(1/a) b = (log_a b)/(log_a a^(-1))\ ->\ log_(1/a) b = (log_a b)/(-1*log_a a)\ ->\ log_(1/a) b = - log_a b$[/size]

che sostituito nella formula originale dà l'identità richiesta.

Cordialmente, Alex

[scuola1234]

Grazie mille