Identità goniometriche (213131) trigonometria, domani compito in classe

[alessandro.grasso.102]

Verificare le seguenti identità, supponendo che alfa assuma solo i valori per i quali sono definiti entrambi i membri

Per favore spiegatemi pure come si fanno non risolvetelo soltanto

2sen(180°-a)-cosalquadrato(180°-a)+2=(sena+1) al quadrato

[BIT5]

Per prima cosa sulla circonferenza goniometrica tracci un angolo a piacere (alfa, che pero' io qui chiamo x solo per comodita' mia). Tracci il triangolo rettangolo avente come ipotenusa il raggio della circonferenza goniometrica. Il cateto "verticale" (ovvero l'ordinata del punto sulla circonferenza goniometrica che forma l'angolo) e' il suo seno, il cateto "orizzontale" (ovvero l'ascissa del punto sulla circonferenza goniometrica che forma l'angolo) e' il suo coseno

Sulla stessa circonferenza goniometrica, segna l'angolo 180-x (che sta, come vedi, nel secondo quadrante)

A noi serve il seno di questo angolo che è l'ordinata del punto sulla circonferenza goniometrica che forma l'angolo.

Come vedi il seno è positivo (sta sopra l'asse x) ed ha la stessa lunghezza del seno dell'angolo x (oppure, se ti viene piu' semplice da capire, i punti di intersezione della semiretta che delimita l'angolo x con la circonferenza e di quella che delimita l'angolo 180-x con la circonferenza hanno la stessa ordinata)

Allora seno (180-x) = sen x

Prendiamo cos (180-x)

Come vedi, anche qui, l'ascissa del solito punto è uguale ed opposta a quella dell'angolo x (il cateto "orizzontale" e' lungo come quello del triangolo relativo all'angolo x, ma sta a sinistra dell'origine (quindi e' negativa))

Allora cos(180-x) = - cos x

Sostituendo nella tua uguaglianza avremo

2 sen x - (-cos)^2 x) + 2 = (senx+1)^2

ovvero

2 senx - (cos^2 x) + 2 = (sen x +1)^2

ricordando la regola fondamentale della trigonometria

sen^2 x + cos^ 2 = 1 --> cos^2 x = 1 - sen^2 x

sostituiamo

2 sen x - ( 1 - sen^2 x) + 2 = (sen x +1)^2

e dunque cambiando i segni , sommando e riordinando

sen^2 x + 2senx + 1 = (sen x +1) ^2

sviluppando a destra il quadrato del binomio, avrai l'uguaglianza verificata...