Identità fattoriali
Sto diventando veramente scemo con queste identità con le funzioni fattoriali! 
Devo verificare la seguente identità:
comincio dalla prima che è la più semplice: $n*n!+n! =(n+1)!$.
Ho fatto
$n*n(n-1)!+n(n-1)! = (n+1)n!$
E ora cosa devo fare?
Devo verificare la seguente identità:
comincio dalla prima che è la più semplice: $n*n!+n! =(n+1)!$.
Ho fatto
$n*n(n-1)!+n(n-1)! = (n+1)n!$
E ora cosa devo fare?
Risposte
ma sì. in altre parole, $n!!$ è uguale al prodotto degli interi positivi che soddisfano due proprietà:
sono minori o uguali di $n$
se $n$ è pari sono pari, se $n$ è dispari sono dispari (in linguaggio più tecnico si dice che hanno la stessa parità di $n$, o con l'aritmetica modulare, si dice che $x$ ha la stessa parità di $n$ se $x bar{=}n$ $mod2$, ovvero $x$ congruo a $n$ modulo $2$, ovvero $x$ e $n$ danno lo stesso resto nella divisione intera per due).
vediamo se hai capito. secondo te quanto varrà $5!!!$ ?
sono minori o uguali di $n$
se $n$ è pari sono pari, se $n$ è dispari sono dispari (in linguaggio più tecnico si dice che hanno la stessa parità di $n$, o con l'aritmetica modulare, si dice che $x$ ha la stessa parità di $n$ se $x bar{=}n$ $mod2$, ovvero $x$ congruo a $n$ modulo $2$, ovvero $x$ e $n$ danno lo stesso resto nella divisione intera per due).
vediamo se hai capito. secondo te quanto varrà $5!!!$ ?
$n!!! =n(n-3)!!! rArr 5!!! =5(5-3)!!! =5*2!!! =5*1=5$ ??
sì
la definizione ricorsiva non dovrebbe essere $ n!!! ={ ( 1 hArr n=0 vv n=1 vv n=2 ),( n(n-3)!!! hArr n>=3 ):} $ ?
sì
Allora sarà $n!!!! = { ( 1 hArr 0 <= n < 4 ),( n(n-4)!!!! hArr n>=4 ):} $ . Aaaaaaaaaaaah ho capito!
*** niente è giusto ciò che dici ***
Oh ecco finalmente dopo giorni stressanti di un'interrogazione dopo l'altra, posso dedicarmi un po' di più a questi fattoriali ^^ Comunque blackbishop13, sono rimasto colpito da questo link che a vedere la definizione ricorsiva generale della funzione fattoriale: http://it.wikipedia.org/wiki/Glossario_ ... fattoriale, k è il numero di punti esclamativi giusto?
già e a vedere la definizione nel link mi accorgo che la mia non è giusta, adesso la correggo per renderla coerente con quella di multifattoriale
Ok, ora ho capito! Grazie per questa possibilità di approfondimento che mi hai dato! Tornando alle iniziali identità fattoriali, ho da verificare che:
$n^3(n-1)!+2n^2(n-1)!+n! =(n+1)(n+1)!$. Ma qui è proprio un bel Boh. Sono arrivato a $(n-1)!(n^3+2n^2+n)=(n+1)^2n!$, ma poi non so come andare avanti
$n^3(n-1)!+2n^2(n-1)!+n! =(n+1)(n+1)!$. Ma qui è proprio un bel Boh. Sono arrivato a $(n-1)!(n^3+2n^2+n)=(n+1)^2n!$, ma poi non so come andare avanti
$n^3+2n^2+n=$.....Scomponendo questa hai praticamente finito
Ah giusto, basta raccogliere a fattor comune e poi esce un quadrato di binomio, grazie! 
Ora ne ho un'altra un po' più complessa: $(n+1)! -n! =(n!)^2/((n-1)!)$. Qui devo mettere le condizioni di esistenza $n>1$?
Ora ne ho un'altra un po' più complessa: $(n+1)! -n! =(n!)^2/((n-1)!)$. Qui devo mettere le condizioni di esistenza $n>1$?
Beh, anche $n=1$ può andare bene .... Perchè $0! = 1$
Si ma se $n=-1$ ad esempio è impossibile giusto?
Sono andato avanti fino a $n! =((n!)^2)/((n-1)!)$ e ora mi blocco... Posso fare denominatore comune? Verrebbe così $n[(n-1)!]^2 =(n!)^2$ ma forse è peggio di prima...
Sono andato avanti fino a $n! =((n!)^2)/((n-1)!)$ e ora mi blocco... Posso fare denominatore comune? Verrebbe così $n[(n-1)!]^2 =(n!)^2$ ma forse è peggio di prima...
non va bene neanche se $n=0$ ti pare? ovvio che non va bene se $n=-1$
non so come arrivi qui:$n! =((n!)^2)/((n-1)!)$ ma è sbagliata questa uguaglianza.
dimostrare quella di partenza è molto facile, basta scrivere $(n!)^2$ come $(n!)*(n!)$ e capire cosa fa $(n!)/((n-1)!)$
non so come arrivi qui:$n! =((n!)^2)/((n-1)!)$ ma è sbagliata questa uguaglianza.
dimostrare quella di partenza è molto facile, basta scrivere $(n!)^2$ come $(n!)*(n!)$ e capire cosa fa $(n!)/((n-1)!)$
Oooh ecco ho ritrovato il foglietto degli appunti 
Allora, per arrivare lì ho trasformato il primo membro così: $(n+1)! -n! = n(n+1)(n-1)! -n(n-1)! =n(n-1)!(n+1-n)$...Mmm ecco dove ho sbagliato aiaiaiai mannaggia...Comunque andando avanti e correggendo sarebbe $ =n(n-1)!(n+1-1)=n^2(n-1)!$, ma niente, questa strada è fallace, ho seguito il tuo consiglio e ho dimostrato il tutto, grazie
Allora, per arrivare lì ho trasformato il primo membro così: $(n+1)! -n! = n(n+1)(n-1)! -n(n-1)! =n(n-1)!(n+1-n)$...Mmm ecco dove ho sbagliato aiaiaiai mannaggia...Comunque andando avanti e correggendo sarebbe $ =n(n-1)!(n+1-1)=n^2(n-1)!$, ma niente, questa strada è fallace, ho seguito il tuo consiglio e ho dimostrato il tutto, grazie
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