Identità fattoriali
Sto diventando veramente scemo con queste identità con le funzioni fattoriali! 
Devo verificare la seguente identità:
comincio dalla prima che è la più semplice: $n*n!+n! =(n+1)!$.
Ho fatto
$n*n(n-1)!+n(n-1)! = (n+1)n!$
E ora cosa devo fare?
Devo verificare la seguente identità:
comincio dalla prima che è la più semplice: $n*n!+n! =(n+1)!$.
Ho fatto
$n*n(n-1)!+n(n-1)! = (n+1)n!$
E ora cosa devo fare?
Risposte
lascia perdere quella strada, andare indietro non ti porta avanti! 
$n*n!+n! =(n+1)!$
semplicemente raccogli $n!$ al primo membro, poi è immediato.
$n*n!+n! =(n+1)!$
semplicemente raccogli $n!$ al primo membro, poi è immediato.
Aaahn giusto che stupido. Quindi $n!(n+1)=(n+1)!$ Ed è ovvio che è uguale!
Poi ho $n!+(n-1)! =(n+1)(n-1)!$ e mi esce..
Poi $n^2(n-2)! =n!+n(n-2)!$,questa è più difficile.. il primo membro l'ho lasciato così, ma nel secondo ho fatto $n(n-1)!+n(n-2)!$, e ora vorrei raccogliere quel $n$ per vedere un pochettino che mi succede ma non so raccogliere con questi punti esclamativi! Verrebbe così: $n[(n-1)!+(n-2)!]$?
Poi ho $n!+(n-1)! =(n+1)(n-1)!$ e mi esce..
Poi $n^2(n-2)! =n!+n(n-2)!$,questa è più difficile.. il primo membro l'ho lasciato così, ma nel secondo ho fatto $n(n-1)!+n(n-2)!$, e ora vorrei raccogliere quel $n$ per vedere un pochettino che mi succede ma non so raccogliere con questi punti esclamativi! Verrebbe così: $n[(n-1)!+(n-2)!]$?
Dal passaggio a cui sei arrivato tu raccogli $n*(n-2)!$:
$n(n-1)!+n(n-2)! = n(n-2)! [ n-1 +1 ]$
E il gioco è fatto !
$n(n-1)!+n(n-2)! = n(n-2)! [ n-1 +1 ]$
E il gioco è fatto !
No dai si può fare una cosa del genere? Che potenza :O ma scusa come hai fatto a raccogliere $n(n-2)!$ ? Non c'era in entrambi i termini :O
$(n-1)! =(n-1)*(n-2)!$
Gulp! Ho corretto, mancava lo spazio tra ! e =, così è venuto un simbolo non richiesto $!=$
Gulp! Ho corretto, mancava lo spazio tra ! e =, così è venuto un simbolo non richiesto $!=$
"@melia":
$(n-1)!=(n-1)*(n-2)!$
"Gufo94":
No dai si può fare una cosa del genere? Che potenza :O ma scusa come hai fatto a raccogliere $n(n-2)!$ ? Non c'era in entrambi i termini :O
Si che c'è in entrambi i termini: tu hai $n(n-1)!$$+n(n-2)!$$=n(n-1)(n-2)!+n(n-2)!$$=n(n-2)![n-1+1]=n(n-2)!n=n^2(n-2)!
Penso che @melia volesse scrivere quello che ho scritto io, ovvero:
$(n-1)!$$=(n-1)(n-2)!$
Aaaah è vero mi ero perso un passaggio. Però, prima di postare altre identità, volevo chiedervi:
$0!$, perché fa $1$? Da dove è saltato fuori?
$0!$, perché fa $1$? Da dove è saltato fuori?
è definito così.
infatti il fattoriale è definito per ricorsione, si pone:
$0!$$=1$ e poi $AA n in NN$,$n>0$ si definisce $n!$$=n*(n-1)!$
questa è la funzione fattoriale.
infatti il fattoriale è definito per ricorsione, si pone:
$0!$$=1$ e poi $AA n in NN$,$n>0$ si definisce $n!$$=n*(n-1)!$
questa è la funzione fattoriale.
Ok, la professoressa ci aveva detto che è una convenzione "strana" e non sapevo spiegarmi quello "strana"! Ma scusa, approfitto della tua saggezza, quindi non si possono fare nemmeno i fattoriali di numeri negativi? 
e ora che ci penso nemmeno di numeri $ n in QQ $
e ora che ci penso nemmeno di numeri $ n in QQ $
eh già.
o meglio, non sono definiti. poi se vuoi puoi decidere che ti serve il fattoriale di un numero negativo, e ti serve in modo che $a!$$=-(-a)!$ , $AA a in ZZ $$/ {0}$
e allora lo definisci così. o come ti pare insomma. ma poi magari non funzionerebbero molte cose che si sono costruite intorno al fattoriale, meglio tenerci la definizione corrente. comunque può essere interessante pensarci.
tuttavia su $QQ$ la vedo difficile fornire di un senso..ma tu prova!! dai poi vediamo se combini qualcosa di carino
o meglio, non sono definiti. poi se vuoi puoi decidere che ti serve il fattoriale di un numero negativo, e ti serve in modo che $a!$$=-(-a)!$ , $AA a in ZZ $$/ {0}$
e allora lo definisci così. o come ti pare insomma. ma poi magari non funzionerebbero molte cose che si sono costruite intorno al fattoriale, meglio tenerci la definizione corrente. comunque può essere interessante pensarci.
tuttavia su $QQ$ la vedo difficile fornire di un senso..ma tu prova!! dai poi vediamo se combini qualcosa di carino
Bah, che cosa strana questi fattoriali. E' brutto però secondo me dire che per convenzione $0! =1$, è una cosa un po' di comodo. Forse dovrebbe essere sempre uguale a 0: $n=0 rArr n! =n(n-1)! = 0(0-1)! = 0$, sempre e comunque per la legge di annullamento del prodotto. Bah, chissà! Però potrei pensare anche che è una definizione punto e basta, come lo è $n! =n(n-1)!$, ma non capisco perché definire $0! =1$ quando si potrebbe usare la legge dell'annullamento del prodotto per dire facilmente che $0! = 0$. Se non si può dimostrare che 0!=1, allora è un pochetto una contraddizione, perché basarsi su congetture, in matematica poi, dove tutto è dimostrabile tranne gli assiomi? Boh, forse è una cosa troppo difficile per me
Per i fattoriali di frazioni non mi viene in mente proprio nulla... forse si potrebbe fare una cosa tipo $(2/3)! =(2!)/(3!) =1/3$ ma non sono radici, non so se avrebbe senso Ho fatto una veloce ricerca su internet e alcuni dicono che si possa calcolare il fattoriale di qualsiasi numero (eccetto quelli negativi) con una certa funzione gamma 
http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale . In questo link si parla anche di altri tipi di fattoriali, come l'iperfattoriale e il superfattoriale. Che potente che è la matematica!
Per i fattoriali di frazioni non mi viene in mente proprio nulla... forse si potrebbe fare una cosa tipo $(2/3)! =(2!)/(3!) =1/3$ ma non sono radici, non so se avrebbe senso
Ho fatto una veloce ricerca su internet e alcuni dicono che si possa calcolare il fattoriale di qualsiasi numero (eccetto quelli negativi) con una certa funzione gamma http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale . In questo link si parla anche di altri tipi di fattoriali, come l'iperfattoriale e il superfattoriale. Che potente che è la matematica!
calma, calma!! metti un sacco di carne al fuoco!
lasciamo perdere la funzione gamma, che per me è ancora un po' troppo avanzata, e mi sa anche per gli studenti del liceo..
accantoniamo anche la definizione di fattoriale sui razionali, semmai la riprendiamo dopo.
torniamo a $0!$$=0$.
1. non è una convenzione. è una definizione, cosa ben diversa. hai parlato di assiomi, bene allora devi comprendere che quando definisci una funzione nuova, nel caso il fattoriale, la definizione è un assioma, e quello è..
non è una cosa da poco, bisogna ditinguere tra ciò che è dimostrabile e ciò che non lo è. ma questo è un discorso sottile, è già un'ottima cosa che tu ti ponga questi interrogativi!!
2. attento a come usi la legge di annullamento del prodotto. adesso ti dirò cose che magari ti paiono strane, ma è uno dei concetti che più mi affascinano della matematica: tu dici: io so che $a*0=0$ qualunque sia $a$. ebbene io ti dico che questa cosa è falsa. o meglio mal formulata.
ciò che è vero è che $a*0=0$ $AA a in ZZ$ o al posto di $ZZ$ puoi prendere $RR$ o $CC$ o un sacco di altri insiemi, non è quello il punto.
se io ti dicessi: quanto fa @$*0$ ?? è una domanda senza senso, perchè l'operazione $*$ è definita tra numeri, diciamo di $ZZ$, mentre @ non so proprio cos'è. quindi quando tu dici $0*(0-1)!$$=0$ sbagli. infatti non sai cos'è $(-1)!$ qundi non puoi farci un'operazione. ok?
3. anche wikipedia ti mostra che in fondo è ragionevole dire $0!$$=0$. Infatti definiamo il fattoriale come consueto, ma a partire da $1$.
Vogliamo estendere il concetto anche allo $0$.Allora diciamo che $EE 0! in ZZ$ e vogliamo provare a calcolarlo:beh per essere coerenti con la definizione dovrà essere $1=1!$$=1*(1-1)!$$=1*0!$ e quindi $1=1*0!$ da cui $1=0!$ adesso sì, perché sappiamo che $1*a=a AA in ZZ$.
lasciamo perdere la funzione gamma, che per me è ancora un po' troppo avanzata, e mi sa anche per gli studenti del liceo..
accantoniamo anche la definizione di fattoriale sui razionali, semmai la riprendiamo dopo.
torniamo a $0!$$=0$.
1. non è una convenzione. è una definizione, cosa ben diversa. hai parlato di assiomi, bene allora devi comprendere che quando definisci una funzione nuova, nel caso il fattoriale, la definizione è un assioma, e quello è..
non è una cosa da poco, bisogna ditinguere tra ciò che è dimostrabile e ciò che non lo è. ma questo è un discorso sottile, è già un'ottima cosa che tu ti ponga questi interrogativi!!
2. attento a come usi la legge di annullamento del prodotto. adesso ti dirò cose che magari ti paiono strane, ma è uno dei concetti che più mi affascinano della matematica: tu dici: io so che $a*0=0$ qualunque sia $a$. ebbene io ti dico che questa cosa è falsa. o meglio mal formulata.
ciò che è vero è che $a*0=0$ $AA a in ZZ$ o al posto di $ZZ$ puoi prendere $RR$ o $CC$ o un sacco di altri insiemi, non è quello il punto.
se io ti dicessi: quanto fa @$*0$ ?? è una domanda senza senso, perchè l'operazione $*$ è definita tra numeri, diciamo di $ZZ$, mentre @ non so proprio cos'è. quindi quando tu dici $0*(0-1)!$$=0$ sbagli. infatti non sai cos'è $(-1)!$ qundi non puoi farci un'operazione. ok?
3. anche wikipedia ti mostra che in fondo è ragionevole dire $0!$$=0$. Infatti definiamo il fattoriale come consueto, ma a partire da $1$.
Vogliamo estendere il concetto anche allo $0$.Allora diciamo che $EE 0! in ZZ$ e vogliamo provare a calcolarlo:beh per essere coerenti con la definizione dovrà essere $1=1!$$=1*(1-1)!$$=1*0!$ e quindi $1=1*0!$ da cui $1=0!$ adesso sì, perché sappiamo che $1*a=a AA in ZZ$.
"Gufo94":
Che potente che è la matematica!
E wikipedia non riporta neppure tutto.
Che io conosco ci sono ancora, oltre ai fattoriali tripli, quadrupli ecc. , i fattoriali ascendenti:
$12^(5) = 12*13*14*15*16$, che si legano ai fattoriali con la legge $(n!)=1^(n)$
E ovviamente quelli discendenti:
$12_(5) =12*11*10*9*8$, che si legano ai fattoriali con la legge $(n!)=n_(n)$
E infine i primoriali, il prodotto dei primi p numeri primi, indicato con $p#$ o $p!$.
La matematica è POTENTERRIMA.
"Gufo94":
E' brutto però secondo me dire che per convenzione $(0!)=1$
Non è una convenzione, è un definizione, come mi ripeteva sempre il mio prof. di mate ora andato in pensione.
P.S.: Flashato da bishop, che ha spiegato esattamente quello che volevo dire con la mia obiezione.
"Auron":
[quote="Gufo94"]Che potente che è la matematica!
E wikipedia non riporta neppure tutto.
Che io conosco ci sono ancora, oltre ai fattoriali tripli, quadrupli ecc. , i fattoriali ascendenti:
$12^(5) = 12*13*14*15*16$, che si legano ai fattoriali con la legge $(n!)=1^(n)$
E ovviamente quelli discendenti:
$12_(5) =12*11*10*9*8$, che si legano ai fattoriali con la legge $(n!)=n_(n)$
E infine i primoriali, il prodotto dei primi p numeri primi, indicato con $p#$ o $p!$.
La matematica è POTENTERRIMA.
[/quote] . Bellissimo! perché non si studiano queste cose anche al liceo 
A pensare che io ero rimasto alla semplice definizione di fattoriale semplice 
Beh dai sono contento ho intravisto dal buco della serratura una parte della matematica che mi era oscura. Affascinante veramente.
Comunque blackbishop13 mi hai sfatato anche quella povera santa di legge di annullamento del prodotto è incredibile
, pensavo valesse con tutto e invece davanti alla @ non ha alcun potere, non annulla proprio niente! Ora che ci penso è vero, bisognerebbe prima definire il fattoriale di $n in ZZ^-$ per definire quello di 0.Poi sì è vero, $0! =1$, non c'è niente da fare, perché sotto c'è una definizione. Se fosse ad esempio $n! = n(n-1)(n-2)*...*3*2*1*0 $ allora si che si avrebbe $0! =0$, ma anche $AAn! in R = 0$, ma forse è inutile dire questo perché c'è, come avete detto, una definizione. Mamma mia si potrebbe costruire una filosofia qua sopra
"Gufo94":
Mamma mia si potrebbe costruire una filosofia qua sopra
Benvenuto nel magico mondo della matematica
visto che ti piacciono queste cose sui fattoriali, ti chiedo di scoprire cosa vuol dire la scrittura
$n!!$. tu penserai che è semplicemente il fattoriale del fattoriale, per capirci $2!!$$=4!$$=24$
invece no, $2!$$=2$ e ad esempio $4!!$$=8$ e $5!!$$=15$
chissà come è definito..
se vuoi te lo dico io comunque, non voglio darti dei compiti..
$n!!$. tu penserai che è semplicemente il fattoriale del fattoriale, per capirci $2!!$$=4!$$=24$
invece no, $2!$$=2$ e ad esempio $4!!$$=8$ e $5!!$$=15$
chissà come è definito..
se vuoi te lo dico io comunque, non voglio darti dei compiti..
$5! =5*4*3*2*1=120$.. O mamma esce anche un numero minore, io che pensavo uscisse chissà che..
$n! =n(n-1)!$... $n!! =n(n-1)(n-1)!$ forse mmm.
oppure $n!! =n(n-2)(n-3)*...*2*1$
$n!! =n(n-2)!$ forse? non lo so
$n! =n(n-1)!$... $n!! =n(n-1)(n-1)!$ forse mmm.
oppure $n!! =n(n-2)(n-3)*...*2*1$
$n!! =n(n-2)!$ forse? non lo so
http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale ... fattoriale
prova a guardare qui, è il link che hai messo prima tu..
dì cosa ne capisci.
prova a guardare qui, è il link che hai messo prima tu..
dì cosa ne capisci.
Ah eccolo..
Allora, c'è sempre una bella definizione per cui $0!! =1$ e $1!! = 1$, e poi $n>=2 rArr n!! =n(n-2)!! =n(n-2)(n-4)(n-6)*...*4*2$ se n è pari, se è dispari è $n!! =n(n-2)(n-4)(n-6)*...*3*1$ ed ecco che $5!! = 5*3*1$, giusto??
Allora, c'è sempre una bella definizione per cui $0!! =1$ e $1!! = 1$, e poi $n>=2 rArr n!! =n(n-2)!! =n(n-2)(n-4)(n-6)*...*4*2$ se n è pari, se è dispari è $n!! =n(n-2)(n-4)(n-6)*...*3*1$ ed ecco che $5!! = 5*3*1$, giusto??
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