Help trigonometria

[momo9494]

Salve,innanzitutto vi ringrazio ..questo forum è davvero figo per migliorarsi in matematica.. )

Praticamente ho alcuni problemi con i seguenti esercizi legati alle equazioni trigonometriche....quando si tratta di quelle standard tutto ok,ma con queste niente da fare...

$sin(x+a)-cos(x+a)$


$sen^2+(sqrt(3)-1)senxcosx-sqrt3cos^2=0 $ (con questa mi fermo al delta utilizzando la metodologia di risoluzione standard di tangente quadra)

$cos(\pi/2-x)senx+2sen(4\pi/3+3 x)cosx-1=0$

[mazzarri1]

ciao Arkimonde

Per la prima direi di utilizzare le note formule (ti straconsglio di impararla a memoria vengono fuori tutta la vita)

$sin(a+b)=sinacosb+cosasinb$

$cos(a+b)=cosacosb-sinasinb$

quindi

$sin(x+a)-cos(x+a)=sinxcosa+cosxsina-cosxcosa+sinxsina=$

$=sinx(cosa+sina)-cosx(sina-cosa)$

e qui mi fermo... o hai sbagliato il testo ed era una equazione? se non fosse un'equazione ti fermi qui

[mazzarri1]

per la seconda

dividi tutto per $cos^2x$ ma lo avrai già fatto... attento che deve essere $x!=pi/2+kpi$ se no dividi per zero...

ottieni

$tg^2x+(sqrt3-1)tgx-sqrt3=0$

per semplicità $tgx=t$

$t^2+(sqrt3-1)t-sqrt3=0$

le soluzioni sono

$t_1,2=(1-sqrt3+-sqrt(4+2sqrt3))/2=(1-sqrt3+-1+sqrt3)/2$

come ho fatto a risolvere la doppia radice? questi esercizi si somigliano tutti... noti che $(1-sqrt3)^2=4-2sqrt3$ quindi ti deve venire in mente che $4+2sqrt3=(1+sqrt3)^2$

quindi

$t_1=tgx=1$

$t_2=tgx=-sqrt3$

da qui trovi tu le soluzioni finali?

[mazzarri1]

Per il terzo nutro dubbi sulla correttezza dela tuo testo... mi perplime quel $3x$... mah...

sappi comunque che (archi associati)

$cos(pi/2-x)=sinx$

e che

$4/3pi=240$ gradi $=3pi/2-pi/6$

quindi utilizzando la formula del mio primo post avrai bisogno di sapere che

$sin(4/3 pi)= sin(3pi/2-pi/6)=-cos pi/6=-sqrt3/2$

$cos(4/3 pi)= cos(3pi/2-pi/6)=-sin pi/6=-1/2$

poi controlla bene il testo... se è corretto proviamo ad andare avanti ma è dura...

[alessio761]

"Arkimonde":Salve,innanzitutto vi ringrazio ..questo forum è davvero figo per migliorarsi in matematica.. )

Praticamente ho alcuni problemi con i seguenti esercizi legati alle equazioni trigonometriche....quando si tratta di quelle standard tutto ok,ma con queste niente da fare...

$sin(x+a)-cos(x+a)$


$sen^2+(sqrt(3)-1)senxcosx-sqrt3cos^2=0 $ (con questa mi fermo al delta utilizzando la metodologia di risoluzione standard di tangente quadra)

$cos(\pi/2-x)senx+2sen(4\pi/3+3 x)cosx-1=0$

Ciao, ammesso che sia
$$\sin(x+a)-\cos(x+a)=0$$
puoi riscriverla come
$$
\sin(x+a)=\cos(x+a)\iff \sin(x+a)=\sin(\frac{\pi}{2}-x-a)
$$
Ora, due seni sono uguali quando (a meno di multipli interi di $2\pi$) i loro argomenti sono uguali oppure supplementari, cioè:
$$
\sin (\alpha)=\sin (\beta)\iff \beta=\alpha+2k\pi\;(k\in Z)\lor \beta=\pi-\alpha+2h\pi\;(h\in Z)
$$
quindi tornando alla (presunta) equazione (dove $\alpha=x+a$ e $\beta=\frac{\pi}{2}-x-a$) ottieni
$$
\frac{\pi}{2}-x-a=x+a+2k\pi\;(k\in Z)\lor \frac{\pi}{2}-x-a=\pi-(x+a)+2h\pi\;(h\in Z)
$$
da cui trovi $x$ (la seconda famiglia di equazioni è impossibile...)

Oppure...con il metodo dell'angolo aggiunto: $\sin(x+a)-\cos(x+a)=\sqrt{2}\sin(x+a-\frac{\pi}{4})$, quindi:
$$
\sin(x+a)-\cos(x+a)=0\iff \sqrt{2}\sin(x+a-\frac{\pi}{4})=0\iff \sin(x+a-\frac{\pi}{4})=0\iff
$$
$$
\iff x+a-\frac{\pi}{4}=k\pi \;(k\in Z)
$$

Terza opzione, dividi (dopo aver osservato che non perdi soluzioni...) per $\cos(x+a)$ e trovi l'equazione $\tan(x+a)-1=0$...