Help la matematica mi uccide!!

[irene19_96]

Mi potete aiutare su un compito di mate x le vacanze?!
Il testo dice:
"Traccia per il punto P(4;6) le rette a e b. Rispettivamente parallela e perpendicolare allaretta passante per Q(2;1) e T(1;3). Determina una retta c parallela all'asse x in modo che il triangolo formato dalle rette a,b e c abbia area 5. "

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao Irene!


Dati due punti distinti del piano coordinato

[math]Oxy\\[/math]

,

[math]Q\left(x_1,\,y_1\right)[/math]

e

[math]T\left(x_2,\,y_2\right)\\[/math]

,
l'equazione della retta

[math]r[/math]

passante per

[math]Q[/math]

e per

[math]T\\[/math]

è :

[math]r : \; \left(x_2-x_1\right)\left(y-y_1\right)=\left(y_2-y_1\right)\left(x-x_1\right)\;.\\[/math]

Ora conviene esplicitare

[math]y\\[/math]

, ottenendo:

[math]r : \; y = m_r\,x + q_r\\[/math]

.


Per definizione di retta parallela e retta perpendicolare
ad un'altra retta

[math]r[/math]

nota, le rette

[math]a[/math]

e

[math]b\\[/math]

hanno:

[math]m_a = m_r \; \; \; \; \; \; m_b = - \frac{1}{m_r}\\[/math]

e dovendo passare entrambe per il punto

[math]P(x^*,\,y^*)\\[/math]

[math]q_a = y^* - m_a\,x^* \; \; \; \; \; \; q_b = y^* - m_b\,x^*\\[/math]

.


Avendo le equazioni di

[math]r,\,a,\,b\,,[/math]

sapresti graficarle nel piano cartesiano?

Dai, prova ad arrivare fin qui che poi procediamo con la seconda parte ;)

[irene19_96]

Ok fino a qui ho fatto poi?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Una volta graficate

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

dobbiamo determinare l'equazione di una retta

[math]c[/math]

parallela l'asse delle x, ossia della forma

[math]y=k[/math]

, cosicché il triangolo

[math]ABP[/math]

formato dalle rette

[math]a,\,b,\,c[/math]

abbia area pari a

[math]5\\[/math]

.

A tale scopo è sufficiente intersecare le rette

[math]a[/math]

e

[math]c[/math]

per determinare l'ascissa

[math]x_A[/math]

del loro punto di intersezione

[math]A[/math]

e analogamente intersecando

[math]b[/math]

con

[math]c[/math]

è facile ricavare l'ascissa

[math]x_B[/math]

di

[math]B\\[/math]

.

Ora, non credo sia difficile determinare la lunghezza del segmento

[math]AB[/math]

, data banalmente da

[math]\left|x_B-x_A\right|[/math]

, base del triangolo

[math]ABP[/math]

. Dato che l'altezza

[math]PH[/math]

di tale triangolo è lunga

[math]|6-k|[/math]

e l'area vogliamo che sia pari a

[math]5[/math]

, come si farà mai a determinare

[math]k[/math]

tale per cui si verifichi tale fatto? :)