Help! Geometria analatica problema sull'ellisse per domani

[peppe-ma]

Salve a tutti sono nuovo del forum ed avrei bisogno urgentemente del vostro aiuto riguardo questo problema sull'ellisse molto difficile che devo svolgere per domani. Allora il testo e' il seguente : E' data l'ellisse di equazione 5y^2+x^2-4x-1=0. Considerare le corde di tale ellisse passanti per il fuoco di ascissa minore, si trovi il luogo dei punti medi di tali corde e se ne determino le caratteristiche. Risultato :[x^2+5y^2-2x=0] Vi prego fatemi sapere ps: A trovare il fuoco di ascissa minore ci so arrivare da solo e trovare il luogo dei punti medi che non capisco come fare. Grazie in anticipo

[giammaria2]

Scrivi l'equazione della generica retta passante per il fuoco e mettila a sistema con l'ellisse per trovare gli estremi delle corde. Non è necessario risolvere completamente il sistema: una volta ricavata un'equazione del tipo $ax^2+bx+c=0$ (ovviamente i suoi coefficienti dipendono da $m$, coefficiente angolare della retta) puoi dire: "Mi interessa solo il punto medio, la cui ascissa è $x=1/2(x_1+x_2)=1/2*(-b/a)$" ed ottieni un'equazione contenente la $x$ del punto medio, mentre l'equazione della retta te ne dà la $y$. Elimini la $m$ da queste due equazioni (cioè la ricavi da una e la sostituisci nell'altra) ed hai il luogo cercato.

[peppe-ma]

se qualcuno ancora a quest'ora legge questo topic perfavore provate a risolverlo perchè a me non risulta e sto uscendo pazzo perfavoreeeee

[giammaria2]

L'ora è passata, ma per completezza do la soluzione, che a me risulta. Scritta in forma canonica, l'ellisse è $(x-2)^2/5+y^2=1$, quindi ha centro $C(2,0)$ e si ha $a=sqrt5; b=1->f=2$. Il fuoco in questione è quindi l'origine.
Gli estremi delle corde sono dati da
${(y=mx),(y^2+x^2-4x-1=0):}$ ->${(y=mx),(x^2(5m^2+1)-4x-1=0):}$

Applicando quanto sopra detto, per il punto medio si ha
${(x=2/(5m^2+1)),(y=mx):}$
Ricavo $m$ dalla seconda equazione e la sostituisco nella prima; il risultato è quello del libro.