Gravi problemi di matematica
Ho un paio di problemoni da sottoporVi:
1) Dovrei studiare la seguente funzione:
f(x)=e^(x) - ln(x)
Anche graficamente.
2) Dovrei dimostrare che:
e^(pigreco) > (pigreco)^e
oppure il viceversa.
Qualcuno sa aiutarmi?
Grazie 1000
Saluti
1) Dovrei studiare la seguente funzione:
f(x)=e^(x) - ln(x)
Anche graficamente.
2) Dovrei dimostrare che:
e^(pigreco) > (pigreco)^e
oppure il viceversa.
Qualcuno sa aiutarmi?
Grazie 1000
Saluti
Risposte
il grafico della funzione dovrebbe essere questo:
per il segno, la f(x) è sempre positiva dato che :
e^x >> logx sempre
la derivata di entrambe le funzioni è sempre positiva da zero a più infinito, però devi escludere lo zero per via del logaritmo.
La derivata prima vale:
e^x - 1/x che è sempre positiva e definita da zero ( escluso ) a più infinito.
la derivata seconda vale:
e^x + 1/x^2 ed è anch'essa positiva nel dominio di f(x)
va beh forse ho commesso errori e lo studio è stato molto rapido ed impreciso... ma era giusto per darti una idea...
il grafico ce l'hai... basta che ti fai i limiti...
se ho fatto errori correggetemi... please...
per il secondo punto... si fa in modo induttivo ?
per il segno, la f(x) è sempre positiva dato che :
e^x >> logx sempre
la derivata di entrambe le funzioni è sempre positiva da zero a più infinito, però devi escludere lo zero per via del logaritmo.
La derivata prima vale:
e^x - 1/x che è sempre positiva e definita da zero ( escluso ) a più infinito.
la derivata seconda vale:
e^x + 1/x^2 ed è anch'essa positiva nel dominio di f(x)
va beh forse ho commesso errori e lo studio è stato molto rapido ed impreciso... ma era giusto per darti una idea...
il grafico ce l'hai... basta che ti fai i limiti...
se ho fatto errori correggetemi... please...
per il secondo punto... si fa in modo induttivo ?
Ti do un piccolo aiuto per il secondo punto: confronta e^x e x^e. Sono funzioni continue e crescenti sui positivi, si incrociano in x=e ma prima e^x sta sopra, dopo invece... Ora hai tutti gli ingredienti per deciderlo 
nel senso che a lungo andare la seconda tende a decrescere rispetto alla prima vero asdf ?
EDIT: cioè diciamo che cresce in modo meno rapido della prima...
EDIT: cioè diciamo che cresce in modo meno rapido della prima...
e^(pigreco) > (pigreco)^e: per dimostrare la disuguaglianza basta applicare il “ln” ad entrambi i membi
e^pi>pi^e
ln(e^pi)>ln(pi^e)
pi>e*ln(pi)
pi/ln(pi)>e
Consideriamo la funzione y=x/ln(x). Studiando la derivata prima si ha:
1/ln(x) -1/(ln(x))^2. Ponendo uguale a zero la derivata prima si ha:
1/ln(x) -1/(ln(x))^2=0 quando ln(x)=1, x=e. e rappresenta un minimo della funzione, quindi la disuguaglianza iniziale è provata.
Ciao, Ermanno.
ln(e^pi)>ln(pi^e)
pi>e*ln(pi)
pi/ln(pi)>e
Consideriamo la funzione y=x/ln(x). Studiando la derivata prima si ha:
1/ln(x) -1/(ln(x))^2. Ponendo uguale a zero la derivata prima si ha:
1/ln(x) -1/(ln(x))^2=0 quando ln(x)=1, x=e. e rappresenta un minimo della funzione, quindi la disuguaglianza iniziale è provata.
Ciao, Ermanno.
Ho disegnato con Derive sullo stesso
piano cartesiano le funzioni e^x ed x^e
Guardate come, per valori poco maggiori
di 3 (come anche pi), le due funzioni
sembrino assumere QUASI lo stesso valore...
piano cartesiano le funzioni e^x ed x^e
Guardate come, per valori poco maggiori
di 3 (come anche pi), le due funzioni
sembrino assumere QUASI lo stesso valore...
L'esercizio chiedeva di dimostrare che è:
e^pi > pi^e , cioè che è:
pi > e*ln(pi), cioè:
3.141592653 > 3.111698447
Notate la differenza tra i due valori.
e^pi > pi^e , cioè che è:
pi > e*ln(pi), cioè:
3.141592653 > 3.111698447
Notate la differenza tra i due valori.
...Dopo invece è ancora e^x > x^e. Stavo cannando in pieno prima: le due funzioni sono una tangente all'altra nel punto x=e e sia a lungo andare che subito dopo e^x resta maggiore di x^e. A maggior ragione in x= pigreco si ha e^pigreco > pigreco^e
X mariolka: hai ragione, ma per dimostrare che pigreco > e*ln(pigreco) o usi tecniche di analisi numerica o studi le due funzioni e il risultato è lo stesso nostro.
Accidenti che rapidi che siete! Stavo postando il mio errata corrige e in quel tempo avete scritto un numero esorbitante di messaggi di risposta! É raro trovare così tanta gente che si aiuta
X mariolka: hai ragione, ma per dimostrare che pigreco > e*ln(pigreco) o usi tecniche di analisi numerica o studi le due funzioni e il risultato è lo stesso nostro.
Accidenti che rapidi che siete! Stavo postando il mio errata corrige e in quel tempo avete scritto un numero esorbitante di messaggi di risposta! É raro trovare così tanta gente che si aiuta
La matematica è arte e scienza, gli artisti si aiutano per diventare scienziati
Hai ragione; è una bellissima frase e sono felice che qui su matematicamente diventi realtà.
Interventi come il tuo fanno veramente
piacere, asdf. La tua ammirazione verso il
nostro sito e il nostro forum contribuirà
a farci crescere ancora di più.
Grazie!
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