Grafico di funzione e sua derivata
Salve a tutti.
Mi trovo in difficoltà su un argomento che penso sia piuttosto banale.
Partendo dal grafico di una funzione g, come faccio a determinare la sua espressione (forse non è il termine adatto, ma quello che mi servirebbe è scrivere la funzione f(x) = ……. partendo dal suo grafico).
Le funzioni elementari li riconosco e quindi, ad esempio, quando vedo una parabola con vertice in 0 allora faccio f(x) = x^2 e così quando vedo il grafico di una funzione logaritmica o Valore Assoluto ecc.
Ma quando non sono quelle elementari?
Per calcolarmi la derivata (e disegnarne il relativo grafico) devo studiare la funzione di cui ho solamente il grafico?
Ripeto, mi scuso per la banalità delle domande, ma se qualcuno mi da delle dritte allora vado avanti da solo.
Ringrazio anticipatamente per ogni eventuale risposta.
Mi trovo in difficoltà su un argomento che penso sia piuttosto banale.
Partendo dal grafico di una funzione g, come faccio a determinare la sua espressione (forse non è il termine adatto, ma quello che mi servirebbe è scrivere la funzione f(x) = ……. partendo dal suo grafico).
Le funzioni elementari li riconosco e quindi, ad esempio, quando vedo una parabola con vertice in 0 allora faccio f(x) = x^2 e così quando vedo il grafico di una funzione logaritmica o Valore Assoluto ecc.
Ma quando non sono quelle elementari?
Per calcolarmi la derivata (e disegnarne il relativo grafico) devo studiare la funzione di cui ho solamente il grafico?
Ripeto, mi scuso per la banalità delle domande, ma se qualcuno mi da delle dritte allora vado avanti da solo.
Ringrazio anticipatamente per ogni eventuale risposta.
Risposte
Se ho capito bene tu cerchi un metodo per ricavare $f(x)$ partendo dal grafico del piano cartesiano di essa. Non so se esiste un metodo che vale per tutte le funzioni, ma per quello che so ti posso dire che è possibile farlo per una funzione polinomiale. Se vedi il grafico di una funzione e sei sicuro che rappresenta una funzione polinomiale di grado $n$ (alcune volte è veramente difficile distinguerle, almeno per me), basta imporre il passaggio per $n+1$ punti, che puoi vedere dal grafico, e trovi l'equazione che vuoi.
Per la derivata senza avere l'equazione non so aiutarti... Magari qualcuno di più esperto conosce qualcosa che io non so
Per la derivata senza avere l'equazione non so aiutarti... Magari qualcuno di più esperto conosce qualcosa che io non so
Intanto grazie per la celere risposta.
In effetti è proprio quello che chiedevo. Infatti quello che mi serve è capire come posso trovare l'equazione avendo solo la rappresentazione grafica della funzione.
Una volta trovata l'equazione mi trovo la derivata e poi traccio il relativo grafico.
Ma come faccio a trovare l'equazione così "ad occhio"?
In effetti è proprio quello che chiedevo. Infatti quello che mi serve è capire come posso trovare l'equazione avendo solo la rappresentazione grafica della funzione.
Una volta trovata l'equazione mi trovo la derivata e poi traccio il relativo grafico.
Ma come faccio a trovare l'equazione così "ad occhio"?
Se per "ad occhio" intendi osservandola senza fare conti, escludendo i casi banali(esempio $f(x)=x^2$), non credo sia così facile, se non impossibile.
Se intendi invece facendo qualche conto credo che avendo una buona conoscenza dei grafici, qualcosa si possa fare, anche se per quello che so prima di fare conti devi essere certo che la funzione rappresentata sia proprio quella che stai pensando, che come ho scritto prima non sempre è facile(esempio: una funzione polinomiale di secondo grado è difficile da distinguere da una di quarto, dove l'equazione non presenta termini di terzo e primo grado.).
Un altro esempio che posso portarti oltre alle polinomiali è quello delle funzioni seno e coseno.
Se vedi una sinusoide puoi immaginare che si tratti di una funzione del tipo $f(x)=a\cdot \sin (b\cdot x)+c$ (Non è il caso più generale, però possiamo usarlo come esempio per vedere che ragionando un po' sul grafico qualcosa si può ricavare). Il termine $c$ lo ricavi facilmente perché puoi intuire che $c=f(0)$. Prendi ora il primo punto di massimo a destra della retta $y$ e chiamiamolo $M$. $M_y$, l'ordinata di $M$, è uguale a $M_y=a\cdot \sin \frac{\pi}{2}+c$, da qui ricavi $a$. Considerando $M_x$ sappiamo che $\sin (b\cdot M_x)=sin \frac{\pi}{2}$ quindi puoi ricavare $b$. Un ragionamento simile ti porta a ricavare l'equazione di una cosinusoide, anche se sempre non in forma generale.
Se intendi invece facendo qualche conto credo che avendo una buona conoscenza dei grafici, qualcosa si possa fare, anche se per quello che so prima di fare conti devi essere certo che la funzione rappresentata sia proprio quella che stai pensando, che come ho scritto prima non sempre è facile(esempio: una funzione polinomiale di secondo grado è difficile da distinguere da una di quarto, dove l'equazione non presenta termini di terzo e primo grado.).
Un altro esempio che posso portarti oltre alle polinomiali è quello delle funzioni seno e coseno.
Se vedi una sinusoide puoi immaginare che si tratti di una funzione del tipo $f(x)=a\cdot \sin (b\cdot x)+c$ (Non è il caso più generale, però possiamo usarlo come esempio per vedere che ragionando un po' sul grafico qualcosa si può ricavare). Il termine $c$ lo ricavi facilmente perché puoi intuire che $c=f(0)$. Prendi ora il primo punto di massimo a destra della retta $y$ e chiamiamolo $M$. $M_y$, l'ordinata di $M$, è uguale a $M_y=a\cdot \sin \frac{\pi}{2}+c$, da qui ricavi $a$. Considerando $M_x$ sappiamo che $\sin (b\cdot M_x)=sin \frac{\pi}{2}$ quindi puoi ricavare $b$. Un ragionamento simile ti porta a ricavare l'equazione di una cosinusoide, anche se sempre non in forma generale.
Sempre grazie.
Faccio un esempio per essere più chiara: ho il grafico di questa funzione e l'esercizio mi chiede di disegnare il grafico della sua derivata prima.
Faccio un esempio per essere più chiara: ho il grafico di questa funzione e l'esercizio mi chiede di disegnare il grafico della sua derivata prima.
Magari capire come iniziare..... grazie sempre per ogni vostra risposta.
Inizia col chiederti il significato di derivata di una funzione, cosa rappresenta graficamente la derivata per la funzione ... per fare uno schizzo della derivata di quella funzione non è necessario conoscere la funzione (ovviamente il grafico "preciso" della derivata lo puoi fare solo se conosci esattamente la funzione ...)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Vediamo dove sbaglio....
La derivata prima f' (x0) nel punto x0 geometricamente rappresenta il coefficente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0 ; f(x0)).
Allora per me la funzione (di cui ho allegato il file) è derivabile in [-3;2] V [3; + infinito] in quanto dove non è continua non può essre derivabile.
Dom (f'(x)) = [-3;0] V [0; + infinito]
f'(x)> 0 in [-3;0] V [3; + infinito]
f'(x) < 0 in [0; 3]
f'(x) = 0 in nessun punto in quanto non presenta punti di flesso a tangente orizzontale (e qui ho dubbi!!!)
f'(x) = k con k appartenente ad R in [3 ; + infinito] in quanto la funzione cresce in ogni punto di questo intervallo con la stessa pendenza.
Allego un file ma non sono convinto che ho fatto bene.
Grazie per ogni eventuale chiarimento.
La derivata prima f' (x0) nel punto x0 geometricamente rappresenta il coefficente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0 ; f(x0)).
Allora per me la funzione (di cui ho allegato il file) è derivabile in [-3;2] V [3; + infinito] in quanto dove non è continua non può essre derivabile.
Dom (f'(x)) = [-3;0] V [0; + infinito]
f'(x)> 0 in [-3;0] V [3; + infinito]
f'(x) < 0 in [0; 3]
f'(x) = 0 in nessun punto in quanto non presenta punti di flesso a tangente orizzontale (e qui ho dubbi!!!)
f'(x) = k con k appartenente ad R in [3 ; + infinito] in quanto la funzione cresce in ogni punto di questo intervallo con la stessa pendenza.
Allego un file ma non sono convinto che ho fatto bene.
Grazie per ogni eventuale chiarimento.
Tra $-3$ e $0$ la funzione è crescente, quindi la derivata prima è positiva. Tra $-3$ e $-2$ la concavità è rivolta verso l'alto, quindi la derivata prima è crescente e in $-2$ la tangente è verticale, quindi la derivata prima tende a $+oo$.
Prova a continuare dicendo che cosa fa la derivata prima nell'intervallo $(-2, 0]$
Prova a continuare dicendo che cosa fa la derivata prima nell'intervallo $(-2, 0]$
Grazie per la risposta.
Nell'intervallo (−2,0] la funzione cresce ma la concavità è rivolta verso il basso (derivata negativa) tra o e 3 decresce e ha la concavità verso l'alto (la derivata prima è positiva).
Sicuramente ho scritto delle fesserie.
Ma il procedimento che ho seguito nel mio post precedente è corretto?
Quello che vorrei sapere, se è possibile, come faccio (trovate tutte queste informazioni) a tracciare il grafico della derivata prima di questa funzione (il secondo file che ho allegato è completamente errato?).
Scusatemi ancora e grazie sempre.
Nell'intervallo (−2,0] la funzione cresce ma la concavità è rivolta verso il basso (derivata negativa) tra o e 3 decresce e ha la concavità verso l'alto (la derivata prima è positiva).
Sicuramente ho scritto delle fesserie.
Ma il procedimento che ho seguito nel mio post precedente è corretto?
Quello che vorrei sapere, se è possibile, come faccio (trovate tutte queste informazioni) a tracciare il grafico della derivata prima di questa funzione (il secondo file che ho allegato è completamente errato?).
Scusatemi ancora e grazie sempre.
Volevo dire: dove sbaglio in quello che ho svolto?
Dom (f'(x)) = [-3;0] V [0; + infinito]
f'(x)> 0 in [-3;0] V [3; + infinito]
f'(x) < 0 in [0; 3]
f'(x) = 0 in nessun punto in quanto non presenta punti di flesso a tangente orizzontale (e qui ho dubbi!!!)
f'(x) = k con k appartenente ad R in [3 ; + infinito] in quanto la funzione cresce in ogni punto di questo intervallo con la stessa pendenza.
Dom (f'(x)) = [-3;0] V [0; + infinito]
f'(x)> 0 in [-3;0] V [3; + infinito]
f'(x) < 0 in [0; 3]
f'(x) = 0 in nessun punto in quanto non presenta punti di flesso a tangente orizzontale (e qui ho dubbi!!!)
f'(x) = k con k appartenente ad R in [3 ; + infinito] in quanto la funzione cresce in ogni punto di questo intervallo con la stessa pendenza.
Nell'intervallo $[-3,0]$ la funzione cresce sempre, quindi la derivata è sempre positiva. Tra $-2$ e $0$ decresce in valore, cioè tende a diventare man mano più piccola, ma pur sempre maggiore di 0.
Io procederei così per tracciare il grafico approssimativo della derivata:
-la funzione mi ricorda una del tipo \(f(x)=\sqrt[3]{g(x)}\), dove $g(x)$ è una funzione dispari, che ha come zero $-2$
-la funzione più semplice che ha le caratteristiche che abbiamo elencato prima è $g(x)=x+2$
-la derivata prima di $f(x)$ è \( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{g^2(x)}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\); posso quindi tracciare il grafico(ho lasciato un immagine di esso allegata), e come vedi e come diceva @melia la derivata cresce fino ad essere infinita in $-2$ per poi decrescere, senza mai scendere sotto lo 0.
Per l'intervallo $[0,3]$ non sono sicuro. sicuramente la derivata sarà sempre negativa, siccome la funzione decresce sempre. Dal primo disegno potevo pensare che fosse una parabola con il vertice in $3$, mentre dal secondo ho qualche dubbio. Nel caso lo fosse il grafico sarebbe una parte di retta tutta nel quarto quadrante, e nel caso il vertice della parabola sia in $P(3;0)$, la derivata avrebbe $0$ con $x=3$.
Per l'ultima parte giustamente hai detta che la derivata è una funzione costante.
P.S.: ho alcuni dubbi su come considerare il punto 3, non ho mai studiato rigorosamente questi argomenti, quindi non so se considerarlo appartenente alla semiretta o alla curva. Qualcuno più esperto ti saprà dare risposte più precise che me
P.P.S.:EDIT, HO RISOLTO. ERRORE MIO
Non riuscivo a scrivere le radici cubiche normalmente, quindi ho dovuto fare così perché scrivendo
qualcuno ha idea del perché?
Io procederei così per tracciare il grafico approssimativo della derivata:
-la funzione mi ricorda una del tipo \(f(x)=\sqrt[3]{g(x)}\), dove $g(x)$ è una funzione dispari, che ha come zero $-2$
-la funzione più semplice che ha le caratteristiche che abbiamo elencato prima è $g(x)=x+2$
-la derivata prima di $f(x)$ è \( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{g^2(x)}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}\); posso quindi tracciare il grafico(ho lasciato un immagine di esso allegata), e come vedi e come diceva @melia la derivata cresce fino ad essere infinita in $-2$ per poi decrescere, senza mai scendere sotto lo 0.
Per l'intervallo $[0,3]$ non sono sicuro. sicuramente la derivata sarà sempre negativa, siccome la funzione decresce sempre. Dal primo disegno potevo pensare che fosse una parabola con il vertice in $3$, mentre dal secondo ho qualche dubbio. Nel caso lo fosse il grafico sarebbe una parte di retta tutta nel quarto quadrante, e nel caso il vertice della parabola sia in $P(3;0)$, la derivata avrebbe $0$ con $x=3$.
Per l'ultima parte giustamente hai detta che la derivata è una funzione costante.
P.S.: ho alcuni dubbi su come considerare il punto 3, non ho mai studiato rigorosamente questi argomenti, quindi non so se considerarlo appartenente alla semiretta o alla curva. Qualcuno più esperto ti saprà dare risposte più precise che me
P.P.S.:EDIT, HO RISOLTO. ERRORE MIO
Non riuscivo a scrivere le radici cubiche normalmente, quindi ho dovuto fare così perché scrivendo
\sqrt[n]{m} usciva: $\sqrt[n]{m}$.qualcuno ha idea del perché?
Grazie arna1998 per la risposta.
Ho però un dubbio: perché nell'intervallo -2 e 0 la funzione decresce? Per me è crescente in quanto
x1 < x2 allora f(x1) < f(x2) con concavità verso il basso. Dove sbaglio?
Nell'intervallo 0 e 3 è proprio un ramo di parabola ma non l'ho disegnata bene.
Ho però un dubbio: perché nell'intervallo -2 e 0 la funzione decresce? Per me è crescente in quanto
x1 < x2 allora f(x1) < f(x2) con concavità verso il basso. Dove sbaglio?
Nell'intervallo 0 e 3 è proprio un ramo di parabola ma non l'ho disegnata bene.
La funzione cresce, ma la sua derivata prima decresce in quanto la derivata seconda è negativa.
Ok grazie. Allora la derivata prima decresce in quanto la funzione presenta la concavità verso il basso e quindi è negativa o mi sbaglio. e quindi il grafico che mi ha allegato gentilmente arna1998 è esatto.
Grazie tante.
Grazie tante.
Quando scrivo:
Mi sono espresso male(ho dimenticato di specificare che ho cambiato il soggetto da "funzione" a "derivata della funzione"
).
Scusa se ti ho confuso le idee con questa frase...
"arna1998":
Tra $-2$ e $0$ decresce in valore, cioè tende a diventare man mano più piccola, ma pur sempre maggiore di 0.
Mi sono espresso male(ho dimenticato di specificare che ho cambiato il soggetto da "funzione" a "derivata della funzione"
).Scusa se ti ho confuso le idee con questa frase...
Ma figurati.... sei stato tanto gentile!!!
scusami arna1998, ma quando dici "nel caso il vertice della parabola sia in P(3;0) , la derivata avrebbe 0 con x=3 " che significa che la derivata avrebbe 0?
Significa che varrebbe 0, errore di battitura 
Su questo punto però è meglio che chiedi a qualcuno di più esperto, io non so come trattarlo quel punto...
Su questo punto però è meglio che chiedi a qualcuno di più esperto, io non so come trattarlo quel punto...
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