Gli infiniti R e N
2-3 anni fa ho elaborato una teoria con cui dimostravo che |R|=|N|. Ovviamente è sbagliata, ma purtroppo non conosco l'errore. L'avevo infatti consegnata alla mia prof, che l'aveva a sua volta data a un prof universitario; questi aveva trovato l'errore, ma non sono mai riuscito a incontrarlo per farmi spiegare dove esso fosse. Mi sono quindi iscritto a questo forum nella speranza che qualcuno trovi l'errore. Mi scuso anticipatamente per l'incomprensibilità del testo, ma l'italiano non è mai stato il mio forte!
Per vedere il testo, cliccare qui
Per vedere il testo, cliccare qui
Risposte
il fatto è che tu consideri solo alcuni numeri reali (cioè le radici dei numeri interi.. ti sei basato sul sistema adottato per i razionali!! semmai si poteva usare per l'insieme Z un metodo simile..).
intuitivamente capisci che tra 2 numeri reali vicinissimi ce ne sono infiniti altri. a differenza dei razionali, nn c'è alcun modo per far corrispondere ogni reale ad ogni naturale, o meglio per costruire la relazione biunivoca tra reali e naturali. nota che se dico relazione (o funzione), è sottinteso che ogni reale deve avere una ed una sola immagine nei naturali.
diciamo che fino ad ora nessuno è riuscito ad ordinare i reali in modo da far vedere questa relazione biunivoca.. forse perchè nn si può.. forse
ti cito quanto detto da ciampax
quell' "ammesso che riesca a trovare l'errore" si riferisce proprio a quanto ti ho appena detto (almeno credo :lol)
intuitivamente capisci che tra 2 numeri reali vicinissimi ce ne sono infiniti altri. a differenza dei razionali, nn c'è alcun modo per far corrispondere ogni reale ad ogni naturale, o meglio per costruire la relazione biunivoca tra reali e naturali. nota che se dico relazione (o funzione), è sottinteso che ogni reale deve avere una ed una sola immagine nei naturali.
diciamo che fino ad ora nessuno è riuscito ad ordinare i reali in modo da far vedere questa relazione biunivoca.. forse perchè nn si può.. forse
ti cito quanto detto da ciampax
Se ci sei, contattami in privato che ti do una mail su cui spedire la dimostrazione e ti dico dove hai sbagliato (ammesso che riesco a trovare l'errore).
quell' "ammesso che riesca a trovare l'errore" si riferisce proprio a quanto ti ho appena detto (almeno credo :lol)
se leggi tutta la dimostrazione, ho messo in relazione biunivoca anche i numeri come pi greco, e... e tutti quei numeri che non derivano da radici! comunque quello che dici non è coretto: "ammesso che riesca a trovare l'errore" era solo una forma di modestia, oppure perchè non è esperto in questo settore... infatti è stato dimostrato che R non è numerabile grazie alla "diagonale di Cantor", e cioè lo stesso metodo da me usato nel secondo "paradosso" solo che applicato ai numeri reali compresi tra 0 e 1 (esclusi).
scusa ma.. se è stato dimostrato con cantor che nn sono numerabili (perdona l'ignoranza ma nn lo sapevo).. perchè ti poni il problema?..cmq scusami ma nn avevo letto un po' superficialmente la tua dimostrazione
ps: però nn riesco ad aprire le immagini (al link), forse sono troppo "pesanti"
ps: però nn riesco ad aprire le immagini (al link), forse sono troppo "pesanti"
io ho "dimostrato" che R è numerabile, quindi nella mia dimostrazione c'è un'errore (probabilmente banale e di concetto); il fatto di non conoscere l'errore mi dà però molto fastidio!:dontgetit
cmq è strano ke tu non riesca ad aprire le immagini! io ce la faccio tranquillamente (a parte la terza ke una volta aperta devo ricliccarla per metterla a fuoco).
cmq è strano ke tu non riesca ad aprire le immagini! io ce la faccio tranquillamente (a parte la terza ke una volta aperta devo ricliccarla per metterla a fuoco).
cito una parte (sbagliata) della tua dimostrazione:
ma se tu metti un numero finito di cifre decimali (0, x1 x2 x3 ecc..) ottieni sempre un razionale.. parti dal presupposto sbagliato che quel numero abbia un'"ultima cifra" (perchè se è irrazionale ne ha sicuramente infinite, dopo la virgola).
con la radice di 2 hai infiniti decimali, e nonostante si possa approssimare a meno di un numero infinitesimo mediante i razionali, nn è rappresentabile in Q
poi si potrebbe dire che nn consideri tutte le radici (cioè consideri solo quelle con indice intero).. e cmq nn ho capito ancora cme consideri la relazione biunivoca, se l'ordine da seguire è a questo link (te lo chiedo per avere una conferma..) http://img264.imageshack.us/my.php?image=schemageneralenormalegiyd3.gif
cmq leggi il pm
Il numero
0,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 … con x1≠a1 x2≠b2 x3≠c3 x4≠d4 x5≠e5 x6≠f6 x7≠g7 x8≠h8 …
non si trova nella lista perché differisce da tutti i numeri in essa compresi per almeno una cifra; questo numero, però, avrà un’ultima cifra che sarà diversa da zero (perché l’ultima sua cifra deve essere diversa dalla n-esima cifra di uno, che è zero); visto che tutti i numeri con un gruppo decimale finito sono numeri razionali, il numero “che non compare sulla lista” deve appartenere ad essa in quanto essa comprende tutti i numeri razionali.
ma se tu metti un numero finito di cifre decimali (0, x1 x2 x3 ecc..) ottieni sempre un razionale.. parti dal presupposto sbagliato che quel numero abbia un'"ultima cifra" (perchè se è irrazionale ne ha sicuramente infinite, dopo la virgola).
con la radice di 2 hai infiniti decimali, e nonostante si possa approssimare a meno di un numero infinitesimo mediante i razionali, nn è rappresentabile in Q
poi si potrebbe dire che nn consideri tutte le radici (cioè consideri solo quelle con indice intero).. e cmq nn ho capito ancora cme consideri la relazione biunivoca, se l'ordine da seguire è a questo link (te lo chiedo per avere una conferma..) http://img264.imageshack.us/my.php?image=schemageneralenormalegiyd3.gif
cmq leggi il pm
il punto è che la lista a cui mi riferisco è la lista di tutti i numeri razionali,quindi il numero che viene fuori, avendo un'ultima cifra, è anch'esso un numero razionale e quindi dovrebbe comparire sulla lista.
per le radici: se l'indice è un numero razionale non c'è problema perchè una radice con radicando "a" e con indice "b/c" equivale alla radice con indice "b" di "a^c". se invece si ha una radice che per indice ha pi greco o un'altro irrazionale... hai ragione tu (nn è segnato sulla mia tabella). basta però considerare questo numero come un qualunque numero irrazionale non derivante da radici.
il link è giusto (è la terza immagine)... ma non capisco la tua domanda: si assegna al primo schema, seguendo la linea gialla, i numeri 2,3,5,6,7,10,11,12,13... il secondo schema rappresenta uno qualunque degli schemi a cui si sono assegnati i numeri 2,3,5,6,7,10,11,12,13... e agli elementi di questi schemi si assegna (sempre seguendo la linea gialla) le potenze ordinate del numero assegnato ad ogni schema. un esempio: a cosa viene associato radice quarta di 2 fratto radice cubica di 4? nello primo schema (quello generale) vedo che radice quarta fratto radice cubica è il nono elemento, a cui è associato il numero 13.
nel secondo schema 2/4 è il 14-esimo elemento, perciò a radice quarta di 2 fratto radice cubica di 4 si associa 13^14
ps: se ho fatto un'errore stupido, ma non riesco ad accorgermene, probabilmente è un'errore di concetto e ti sarà difficile convincermi che ho sbagliato!
pps: cosa vuol dire pm?
per le radici: se l'indice è un numero razionale non c'è problema perchè una radice con radicando "a" e con indice "b/c" equivale alla radice con indice "b" di "a^c". se invece si ha una radice che per indice ha pi greco o un'altro irrazionale... hai ragione tu (nn è segnato sulla mia tabella). basta però considerare questo numero come un qualunque numero irrazionale non derivante da radici.
il link è giusto (è la terza immagine)... ma non capisco la tua domanda: si assegna al primo schema, seguendo la linea gialla, i numeri 2,3,5,6,7,10,11,12,13... il secondo schema rappresenta uno qualunque degli schemi a cui si sono assegnati i numeri 2,3,5,6,7,10,11,12,13... e agli elementi di questi schemi si assegna (sempre seguendo la linea gialla) le potenze ordinate del numero assegnato ad ogni schema. un esempio: a cosa viene associato radice quarta di 2 fratto radice cubica di 4? nello primo schema (quello generale) vedo che radice quarta fratto radice cubica è il nono elemento, a cui è associato il numero 13.
nel secondo schema 2/4 è il 14-esimo elemento, perciò a radice quarta di 2 fratto radice cubica di 4 si associa 13^14
ps: se ho fatto un'errore stupido, ma non riesco ad accorgermene, probabilmente è un'errore di concetto e ti sarà difficile convincermi che ho sbagliato!
pps: cosa vuol dire pm?
Secomdo me la dimostrazione presenta un sostanziale errore concettuale nelle premesse: non penso sia lecito enumerare semplicemente tutti i numeri reali: secondo me l'errore concettuale sta nel fatto che la dimostrazione va fatta per via integrale.
Considerando la funzione di Dirichlet integrata secondo Lebesgue nell'intervallo continuo fra 0 e 1, si ottiene che la norma dei numeri razionali è pari a 0 mentre la norma degli irrazionali è 1.
Ciò dimostra chiaramente che la cardinalità degli irrazionali è un infinito di ordine superiore rispetto ai razionali. Il ragionamento si estende quindi ad un intervallo illimitato.
Assumendo esatta la supposizione che i |Q| = |N|, sulla quale peraltro nutro forti dubbi, si evince che |R| >> |N|
Considerando la funzione di Dirichlet integrata secondo Lebesgue nell'intervallo continuo fra 0 e 1, si ottiene che la norma dei numeri razionali è pari a 0 mentre la norma degli irrazionali è 1.
Ciò dimostra chiaramente che la cardinalità degli irrazionali è un infinito di ordine superiore rispetto ai razionali. Il ragionamento si estende quindi ad un intervallo illimitato.
Assumendo esatta la supposizione che i |Q| = |N|, sulla quale peraltro nutro forti dubbi, si evince che |R| >> |N|
Skullcrusher1907 :
Considerando la funzione di Dirichlet integrata secondo Lebesgue nell'intervallo continuo fra 0 e 1, si ottiene che la norma dei numeri razionali è pari a 0 mentre la norma degli irrazionali è 1.
eh??? scusa ma io son in quarta, non ho idea di cosa tu stia parlando!!! lo so che |R|=|N|, ma vorrei semplicemente sapere dove ho sbagliato nella mia dimostrazione...
Skullcrusher1907 :
Assumendo esatta la supposizione che i |Q| = |N|, sulla quale peraltro nutro forti dubbi
d quello sono certo! se guardi un po' più in su, c'è la spiegazione fatta da Minimo e sotto c'è un mio post con un sito in cui si dimostra che |Q|=|N| e che R non è numerabile (usando la diagonale di Cantor)
plum :
[quote]Skullcrusher1907 :
Considerando la funzione di Dirichlet integrata secondo Lebesgue nell'intervallo continuo fra 0 e 1, si ottiene che la norma dei numeri razionali è pari a 0 mentre la norma degli irrazionali è 1.
eh??? scusa ma io son in quarta, non ho idea di cosa tu stia parlando!!! lo so che |R|=|N|, ma vorrei semplicemente sapere dove ho sbagliato nella mia dimostrazione...
Skullcrusher1907 :
Assumendo esatta la supposizione che i |Q| = |N|, sulla quale peraltro nutro forti dubbi
d quello sono certo! se guardi un po' più in su, c'è la spiegazione fatta da Minimo e sotto c'è un mio post con un sito in cui si dimostra che |Q|=|N| e che R non è numerabile (usando la diagonale di Cantor)
[/quote]
in effetti il problema è poco matematico e quasi filosofico.
Il discorso è che secondo Riemann le funzioni non sono integrabili nei punti di discontinuità, mentre Lebesgue semplicemente trascura tali punti. La funzione di Dirichlet è un'astrazione matematica che semplicemente assegna il valore 1 ai numeri irrazionali e 0 ai razionali (o viceversa, comunque non è significativo): l'integrale dimostra quindi che |R|>>|Q|.
In poche parole penso che il tuo errore concettuale sia affrontare il problema con lo strumento inadatto: non puoi enumerare elementi infinitesimi con elementi discreti.
Inoltre, altro elemeno ambiguo della tua dimostrazione, tronchi la rappresentazione ad un numero limitato di cifre, rendendo di fatto un numero irrazionale come un razionale. Ovviamente non è possibile scrivere infinite cifre, pertanto si evince che il calcolo va eseguito in modo integrale.
sulla spiegazione di minimo mi permetto di dissentire: è esatta ma dimostra l'esatto contrario di quanto conclude. infatti utilizza un intervallo illimitato di numeri naturali per creare una corrispondenza biunivoca nel dominio limitato dei numeri razionali: da qui la conclusione che i numeri razionali sono un'infinità di ordine superiore rispetto ai naturali.
sulla spiegazione di minimo mi permetto di dissentire: è esatta ma dimostra l'esatto contrario di quanto conclude. infatti utilizza un intervallo illimitato di numeri naturali per creare una corrispondenza biunivoca nel dominio limitato dei numeri razionali: da qui la conclusione che i numeri razionali sono un'infinità di ordine superiore rispetto ai naturali.
mmm... il punto è che preso un razionale m/n, basta andare alla m-esima riga n-esima colonna dello schema per trovarlo; a questa posizione è associato un numero naturale (basta seguire l'ordine); ad ogni numero razionale si abbina un numero naturale --> funzione biunivoca tra Q e N --> |Q|=|N|
plum :
[quote]
sulla spiegazione di minimo mi permetto di dissentire: è esatta ma dimostra l'esatto contrario di quanto conclude. infatti utilizza un intervallo illimitato di numeri naturali per creare una corrispondenza biunivoca nel dominio limitato dei numeri razionali: da qui la conclusione che i numeri razionali sono un'infinità di ordine superiore rispetto ai naturali.
mmm... il punto è che preso un razionale m/n, basta andare alla m-esima riga n-esima colonna dello schema per trovarlo; a questa posizione è associato un numero naturale (basta seguire l'ordine); ad ogni numero razionale si abbina un numero naturale --> funzione biunivoca tra Q e N --> |Q|=|N|
[/quote]
vero, come ho detto prima il problema è praticamente di natura filosofica: entrambi hanno cardinalità infinita, quindi sono uguali. Oppure per creare una corrispondenza biunivoca fra Q nell'intervallo 0-1 serve un intervallo illimitato su N, quindi |Q|>|N|. Entrambe le conclusioni sono esatte, dipende solo dalla definizione dell'assioma di infinito che assumiamo.
Mettila così: se peschi un numero a caso, esso apparterrà con maggior probabilità a Q oppure ad N? Pensaci bene
ma questo non centra nulla con la numerabilità degli insiemi! anche l'insieme 0,1,4,9,16,25,36... è numerabile, perchè a 0 associo lo 0, a l'1 associo 1, a 4 il 2, a 9 il 3... quindi c'è biunivocità tra i due. ovviamente, preso un numero a caso è più semplice trovare un naturale di un quadrato di un naturale... ma gli elementi di un sottoinsieme infinito di N sono cmq tanti quanti inumeri naturali! per quanto possa sembrare impossibile, è così...
plum :
ma questo non centra nulla con la numerabilità degli insiemi! anche l'insieme 0,1,4,9,16,25,36... è numerabile, perchè a 0 associo lo 0, a l'1 associo 1, a 4 il 2, a 9 il 3... quindi c'è biunivocità tra i due. ovviamente, preso un numero a caso è più semplice trovare un naturale di un quadrato di un naturale... ma gli elementi di un sottoinsieme infinito di N sono cmq tanti quanti inumeri naturali! per quanto possa sembrare impossibile, è così...
il calcolo va affrontato in modo integrale: se farai studi di matematica avanzata, cosa che ti auguro perchè ho visto che hai risolto brillantemente alcuni esercizi non banali, vedrai che è necessario distinguere di che ordine di infinito stai parlando.
Se assumiamo come definizione di infinito sia semplicemente "un numero non enumerabile" è sicuramente come dici tu.
Tuttavia prova a pensare:
preso un numero n grande a piacere, esiste sempre un m tale per cui n+m > n (n,m in N)
preso un numero x grande a piacere, esiste sempre un epsilon infinitamente piccolo tale per cui
x+epsilon > x e |Q| nell'intervallo x, x+epsilon è infinita: infinito di ordine superiore, immagina una specie di infinito al quadrato. Ovviamente mi dirai che
[math]infinito^2=infinito[/math]
ma dovresti cogliere che sono due cose diverse.
Più avanti (mooolto) vedrai che ci sono eventi possibili a probabilità nulla, e l'estrazione di un numero razionale sull'asse reale è proprio uno di questi. a maggior ragione lo è l'estrazione di un numero narurale sull'asse razionale. Per fare questi conti è necessario distinguere se ci troviamo di fronte ad un infinito di ordine superiore oppure no, e lo strumento da utilizzare è il calcolo integrale
il punto è che un infinito si dice numerabile se si può mettere in relazione biunivoca con N. è questo il caso di Q, che quindi ha tanti elementi quanti N. questo non lo dico io da semplice studente di 17 anni, ma lo dice (lo ha detto, ormai è morto) Cantor; dopo aver scoperto che R non è numerabile ha formulato l'ipotesi del continuo, secondo la quale tra
alla fine, cercando di dimostrare la sua ipotesi, è impazzito e si è suicidato... se come dici tu |R|>|Q|>|N|, l'ipotesi di Cantor sarebbe falsa, e il poveretto non sarebbe impazzito e non si sarebbe suicidato!
per essere pignoli, l'ipotesi del continuo è "indecidibile", cioè non si può dimostrare nè se è vera, nè se è falsa; non ho ancora capito il perchè, ma ho letto che se una congettura è indecidibile deve per forza essere vera (ma non lo si può dimostrare) --> quindi non ci sono infiniti di ordine compreso tra 0 e 1 --> quindi Q non può essere maggiore di N e minore di R contemporaneamente!
[math]\aleph_0[/math]
(l'infinito di N) e [math]\aleph_1[/math]
(l'infinito di R, che come dicevi tu è uguale a [math]\aleph_0^2[/math]
) non c'è nessun altro tipo di infinito. alla fine, cercando di dimostrare la sua ipotesi, è impazzito e si è suicidato... se come dici tu |R|>|Q|>|N|, l'ipotesi di Cantor sarebbe falsa, e il poveretto non sarebbe impazzito e non si sarebbe suicidato!
per essere pignoli, l'ipotesi del continuo è "indecidibile", cioè non si può dimostrare nè se è vera, nè se è falsa; non ho ancora capito il perchè, ma ho letto che se una congettura è indecidibile deve per forza essere vera (ma non lo si può dimostrare) --> quindi non ci sono infiniti di ordine compreso tra 0 e 1 --> quindi Q non può essere maggiore di N e minore di R contemporaneamente!
Skullcrusher1907 :
...Oppure per creare una corrispondenza biunivoca fra Q nell'intervallo 0-1 serve un intervallo illimitato su N, quindi |Q|>|N|.
contraddici cantor, quella nn è un'implicazione corretta.
A e B sono 2 insiemi; cantor dice: se una parte (qualsiasi) di A è in corrispondenza biunivoca con B e una parte di B è in corr biunivoca con A allora |A|=|B|, pertanto esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B . questo lo puoi constatare vero negli insiemi finiti (perchè nn dovrebbe esserlo in quelli infiniti?)
xico87 :
contraddici cantor, quella nn è un'implicazione corretta.
non è vero, dipende dall'assioma iniziale che assumi per vero.
Invece non avevo considerato l'esistenza di due soli ordini di infinito, ci penserò...
Skullcrusher1907 :
non è vero, dipende dall'assioma iniziale che assumi per vero.
in che senso?
Skullcrusher1907 :
Invece non avevo considerato l'esistenza di due soli ordini di infinito, ci penserò...
non so se ho capito quel che intendi: se ti stai riferendo alla mia dimostrazione, si, ci sono solo due dipi di infinito; in generale, invece, ci sono infiniti tipi di infinito:
[math]\aleph_n=\aleph_{n-1}^2[/math]
Skullcrusher1907 :
[quote]xico87 :
contraddici cantor, quella nn è un'implicazione corretta.
non è vero, dipende dall'assioma iniziale che assumi per vero.
[/quote]
in precedenza, parlando di Q ed N hai detto che entrambi hanno cardinalità infinita, quindi sono uguali.. allora lo sarebbero anche N ed R, se la metti così; sicuro che dipenda dall'assioma a questo punto? oppure sei sicuro che questo assioma si possa utilizzare per confrontare i due insiemi? scusate ma queste parti di matematica nn le conosco (anche se Pillaus mi ha dato qlche ripetizione notturna :lol)
cmq plum, la tua dimostrazione è errata per il semplice fatto che nn consideri tutti i reali; spiego, visto che nn so se hai già parlato o meno con Pillaus (in compenso ci ho parlato io).
considera "c" (irrazionale nn derivante da radici) appartenente all'intervallo (a, b) preso sull'asse reale delle ascisse. puoi constatare che per quanto piccolo sia l'intervallo, se a "c" fai corrispondere il razionale "c' ". al reale (irrazionale) "immediatamente successivo a c", non puoi far corrispondere un altro razionale (prova ad immaginarlo graficamente).. in altri termini, poichè tra 2 razionali vicini ci sono infiniti reali (irrazionali), nn si può fare l'associazione che suggerisci: nn avresti più una funzione (o una funzione biunivoca a seconda di come la vedi), visto che ci sarebbero dei reali (irrazionali) senza immagine (o controimmagine). per via grafica sarebbe stato più comprensibile.. purtroppo avendo dei problemi nn ho potuto fare il disegno
xico87 :
al reale (irrazionale) "immediatamente successivo a c", non puoi far corrispondere un altro razionale (prova ad immaginarlo graficamente).. in altri termini, poichè tra 2 razionali vicini ci sono infiniti reali (irrazionali), nn si può fare l'associazione che suggerisci: nn avresti più una funzione (o una funzione biunivoca a seconda di come la vedi), visto che ci sarebbero dei reali (irrazionali) senza immagine (o controimmagine).
intanto, non si può prendere il numero reale immediatamente successivo a c, proprio perchè l'insieme è denso; ma anche Q è denso! tra due numeri razionali ci sono infiniti altri numeri razionali, oltre che a infiniti numeri reali... inoltre Q è numerabile anche se tra due numeri naturali ce ne sono infiniti razionali... sempre che tu intenda questo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo