Giocando con la trigonometria.....
giocando con un programma che disegna funzioni (bellissimo, si chiama analysis, è gratuito e semplicissimo da usare) ho provato per divertimento a disegnare y=sin(cosx), poi y=sin(cos(sinx)) bla bla arrivando fino a y=sin(cos(sin(cos(sin(cos(sin(cos(sin(cosx))))))))) e ho notato che la curva si approssima sempre di più ad una retta. allora (sparando a caso) mi sono detto: per me sta retta è y=(sqrt2)/2, l'ho disegnata sempre con lo stesso programma e in effetti la curva sembra proprio tendere a quella retta, che io ho provato perchè sqrt2/2 è l'unico valore che rappresenta contemporaneamente il sin e il cos di un angolo (pi/4). esiste una dimostrazione di ciò? non è una cosa molto curiosa? a me personalmente mi ha affascinato abbastanza [:D] (e se no non aprivo un topic apposta)
Risposte
Guarda guarda! ...
https://www.matematicamente.it/forum/top ... PIC_ID=682
Anche tu ti sei divertito a fare questi grafici? [:D]
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Anche tu ti sei divertito a fare questi grafici? [:D]
HAHAHAHAHA bene sono arrivato tardi 
beh a quanto pare però anche all'epoca la cosa non fu proprio ignorata, ma attirò abbastanza attenzione! l'unica cosa che ho sbagliato è il trovare la retta... ma come detto ho solo sparato una retta a caso che fosse un po' particolare e dal programma sembrava che la retta fosse proprio sqr2/2 = 0,7071... che in effetti da 0,6969 differisce di poco e trovare questa differenza ad occhio è molto difficile...però sn un po' deluso... se la sinusoide degenerasse in y=sqrt2/2 sarebbe molto più interessante visto che sin pi/4 = cos pi/4 = sqrt2/2. vabbè pazienza...
p.s.= Fireball dove sei finito su msn??
beh a quanto pare però anche all'epoca la cosa non fu proprio ignorata, ma attirò abbastanza attenzione! l'unica cosa che ho sbagliato è il trovare la retta... ma come detto ho solo sparato una retta a caso che fosse un po' particolare e dal programma sembrava che la retta fosse proprio sqr2/2 = 0,7071... che in effetti da 0,6969 differisce di poco e trovare questa differenza ad occhio è molto difficile...però sn un po' deluso... se la sinusoide degenerasse in y=sqrt2/2 sarebbe molto più interessante visto che sin pi/4 = cos pi/4 = sqrt2/2. vabbè pazienza...p.s.= Fireball dove sei finito su msn??
forse l'argomento non era stato sviscerato a fondo:
vero è chesin(cos(sin( ...))) ==> y=0,695 circa
ma non è il solo ad appiattirsi: il suo "gemello"cos(sin(cos( ...))) ==> y=0,768 circa
un barlume di speranza per giacor86 che la loro media tenda a sqrt(2)/2 svanisce rapidamente ...
la loro ipotenusa =1,07 1,035 non mi fa fremere
il loro rapporto sin/cos ==> 0,9045, e anche questo non mi dice niente.
tony
*** CORREZIONE A POSTERIORI ***
alla riga -1 il valore 1,07 va letto 1,035
vero è che
ma non è il solo ad appiattirsi: il suo "gemello"
un barlume di speranza per giacor86 che la loro media tenda a sqrt(2)/2 svanisce rapidamente ...
la loro ipotenusa =
il loro rapporto sin/cos ==> 0,9045, e anche questo non mi dice niente.
tony
*** CORREZIONE A POSTERIORI ***
alla riga -1 il valore 1,07 va letto 1,035
scusa l'estrema ignoranza, ma cos'è l'ipotenusa fra 2 funzioni??? io ho sempre sentito parlare di ipotenusa come lato lungo dei triangoli rettanggoli...
La retta si trova risolvendo l'equazione:
cosy - arcsiny = 0
Risolta numericamente si trova y = 0,69482.
cosy - arcsiny = 0
Risolta numericamente si trova y = 0,69482.
e cosa indica? a cosa serve?
hai ragione, giacor86, non fa una grinza:
gli è che, scrivendolo, mi pareva una sottile piacevolezza definire il risultato della relazione pitagorica sqrt(0,695^2+0,768^2) come "ipotenusa" dei due valori.
tony
quote:
scusa l'estrema ignoranza, ma cos'è l'ipotenusa fra 2 funzioni??? io ho sempre sentito parlare di ipotenusa come lato lungo dei triangoli rettanggoli...[giacor86]
gli è che, scrivendolo, mi pareva una sottile piacevolezza definire il risultato della relazione pitagorica sqrt(0,695^2+0,768^2) come "ipotenusa" dei due valori.
tony
perfetto MaMo:
e la gemella è data da:
siny - arccos = 0
trovando y = 0,76817
tony
quote:
La retta si trova risolvendo l'equazione:
cosy - arcsiny = 0
Risolta numericamente si trova y = 0,69482. [MaMo]
e la gemella è data da:
siny - arccos = 0
trovando y = 0,76817
tony
Disegnare cos(sin(cos(sin.....(x))..)
Equivale a chidersi:
Preso un punto x(0) a caso:
x(k+1)=cos(sin(x(k))=cos(sin(cos(sin(x(k-1))))=cos(sin(...k-volte(x(0))))...)
Per k>=0
lim[k->+00] x(k) = ?
Si puo' dimostrare che:
lim[k->+00] x(k) = .76816915673679597746208623955866
Per ogni x(0).
Questo punto e' l'unico punto fisso della mappa ovvero l'unica soluzione di:
cos(sin(x)) = x
La derivata e':
-sin(sin(x))*cos(x)
In oltre |sin(sin(x))*cos(x)| < 1/2
Quindi si puo' usare il teorema delle contrazioni per affermare che x(k) tende al punto fisso per ogni dato iniziale.
Per sin(cos(x))
.69481969073078756557842007277519
E' il punto fisso.
La derivata della funzione mappa e':
-cos(cos(x))*sin(x)
Accade che:
| cos(cos(x))*sin(x) | <= 1
Non si puo' usare direttamente il teorema di Banach-Cacciapoli su tutto il dominio, ma si puo' dimostrare che l'immagine dell'intero dominio e' comunque contenuta in un insieme in cui la mappa e' una contrazione e quindi che il bacino di attrazione del punto in questione e' tutto R.
Quindi il grafico si appiattisce sulla retta y = a
Dove a e' la soluzione di sin(cos(x))=x o di cos(sin(x))=x a seconda.
Ho risolto numericamente le due soluzioni ma non c'e' alcuna corrispondenza con (2^(1/2))/2.
PS: Passando alle funzioni inverse nell'equazione si trova che effettivamente questi numeri sono le soluzioni delle equazioni scritte da tony e da MaMo.
Equivale a chidersi:
Preso un punto x(0) a caso:
x(k+1)=cos(sin(x(k))=cos(sin(cos(sin(x(k-1))))=cos(sin(...k-volte(x(0))))...)
Per k>=0
lim[k->+00] x(k) = ?
Si puo' dimostrare che:
lim[k->+00] x(k) = .76816915673679597746208623955866
Per ogni x(0).
Questo punto e' l'unico punto fisso della mappa ovvero l'unica soluzione di:
cos(sin(x)) = x
La derivata e':
-sin(sin(x))*cos(x)
In oltre |sin(sin(x))*cos(x)| < 1/2
Quindi si puo' usare il teorema delle contrazioni per affermare che x(k) tende al punto fisso per ogni dato iniziale.
Per sin(cos(x))
.69481969073078756557842007277519
E' il punto fisso.
La derivata della funzione mappa e':
-cos(cos(x))*sin(x)
Accade che:
| cos(cos(x))*sin(x) | <= 1
Non si puo' usare direttamente il teorema di Banach-Cacciapoli su tutto il dominio, ma si puo' dimostrare che l'immagine dell'intero dominio e' comunque contenuta in un insieme in cui la mappa e' una contrazione e quindi che il bacino di attrazione del punto in questione e' tutto R.
Quindi il grafico si appiattisce sulla retta y = a
Dove a e' la soluzione di sin(cos(x))=x o di cos(sin(x))=x a seconda.
Ho risolto numericamente le due soluzioni ma non c'e' alcuna corrispondenza con (2^(1/2))/2.
PS: Passando alle funzioni inverse nell'equazione si trova che effettivamente questi numeri sono le soluzioni delle equazioni scritte da tony e da MaMo.
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