GEOMETRIA UNO

[omar2080]

Dato un trapezio rettangolo ABCD avente altezza AD=1 e basi AB=2 e CD=x determinare il volume del parallelepipedo retto a base quadrata il cui lato di base sia uguale al lato obliquo BC del trapezio e la cui altezza sia uguale alla base CD del trapezio stesso.
Tracciare in coordinate cartesiane ortogonali il grafico della funzione y = f(x) rappresentante il lato del cubo avente lo stesso volume del precedente parallelepipedo.
Determinare l'equazione della retta t passante per l'origine del sistema di riferimento delle coordinate cartesiane ortogonali e tangente alla curva y = f(x) in un punto T del primo quadrante.

Verificare che T ha coordinate x = 5/2 e y = radice cubica di 25/8

[MaMo2]

Indichiamo con HB la proiezione del lato obliquo sulla base AB.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BHC si ha:

BC = sqrt[1 + (2 - x)^2] = sqrt(x^2 - 4x + 5)

Il volume del parallelepipedo è perciò:

V = BC^2*CD = (x^2 - 4x + 5)*x

Lo spigolo del cubo diventa perciò:

s = f(x) = (V)^(1/3) = [x*(x^2 - 4x + 5)]^(1/3)

L'equazione generale di una retta passante per l'origine degli assi è
y = m*x. Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene la soluzione x = 0 e la seguente equazione di secondo grado:

(1 - m^3)x^2 - 4x + 5 = 0

Ponendo il discriminante uguale a 0 si trova m = (1/5)^(1/3).
Inserendo questo valore nell'equazione precedente si trova l'ascissa del punto di tangenza che diventa XT = 5/2.
L'ordinata è data da YT = m*XT = (1/5)^(1/3)*5/2 = (25)^(1/3)/2.