[Geometria analitica] Retta+Parabola

[alessiaalessiaalessia]

Considera i punti V(2;-1) e A(0;3) e la retta r di equazione y = 3x + 2.
a) Considera l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y avente come vertice il punti V e passante per il punto A.
b) Trova i punti di intersezione D, E tra la parabola suddetta e la retta r. c) Trova la lunghezza e il punto medio della corda che la parabola stacca sulla retta r.
d) Calcola l'area del triangolo ABC avente come vertici il punto A, il punto B di intersezione della retta r con l'asse delle ascisse e il punto C(5;0).

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali

[math]O\,x\,y[/math]

, si conside-
rino i punti

[math]V(2,\,-1)[/math]

,

[math]A(0,\,3)[/math]

e la retta

[math]r : y = 3\,x + 2\\[/math]

.

a) I parametri dell'equazione cartesiana

[math]y = a\,x^2 + b\,x + c[/math]

della
parabola di vertice

[math]V[/math]

e passante anche per

[math]A[/math]

sono individuati da:

[math]\begin{cases} - \frac{b}{2\,a} = 2 \\ -1 = a\,(2)^2 + b\,(2) + c \\ 3 = a\,(0)^2 + b\,(0) + c \end{cases}\\[/math]

.


b) Le coordinate dei punti

[math]D[/math]

,

[math]E[/math]

intersezione
tra la suddetta parabola ed

[math]r[/math]

sono individuati da:

[math]\begin{cases} y = a\,x^2 + b\,x + c \\ y = 3\,x + 2 \end{cases}[/math]

, dove ovviamente ora i
parametri

[math]a[/math]

,

[math]b[/math]

,

[math]c\\[/math]

sono noti.


c) Noti i punti

[math]D(x_d,\,y_d)[/math]

,

[math]E(x_e,\,y_e)[/math]

, per il teorema di Pitagora,
si ha

[math]\overline{DE} = \sqrt{(x_e - x_d)^2 + (y_e - y_d)^2}[/math]

, mentre per definizione il
punto medio

[math]M[/math]

del segmento

[math]DE[/math]

coincide con

[math]M\left(\frac{x_d + x_e}{2}, \; \frac{y_d + y_e}{2}\right)\\[/math]

.


d) Considerando il punto

[math]A(0,\,3)[/math]

, il punto

[math]B(x_b,\,0)[/math]

dove l'ascissa è
individuata da

[math]\begin{cases} y = 3\,x + 2 \\ y = 0 \end{cases}[/math]

e il punto

[math]C(5,\,0)[/math]

, una volta rappresen-
tati sul piano cartesiano e individuato il triangolo

[math]ABC[/math]

, la propria area è
presto calcolata tramite il semiprodotto della base per la propria altezza.


A te i conticini. ;)

[alessiaalessiaalessia]

Grazie ! :)