Geometria analitica (piano cartesiano)

[Annie__]

Buonasera ragazzi :)
volevo chiedervi un piccolo aiuto... potreste spiegarmi come risolvere al meglio questo problema di geometria analitica? Sul mio libro non ho nemmeno un esercizio guidato e sto avendo un pò di difficoltà :hypno

Ecco il testo:
- Rappresenta graficamente le rette

[math]r[/math]

e

[math]s[/math]

rispettivamente di equazioni

[math]y= -1/2x[/math]

e

[math]y=2x
[/math]

. Sia

[math]A[/math]

il punto di

[math]r[/math]

di ascissa 4 e

[math]B[/math]

il punto di

[math]s[/math]

di ordinata 8. Determina le misure

[math]2p[/math]

e

[math]S[/math]

del perimetro e dell'area del triangolo

[math]AOB[/math]

, dopo aver verificato che è rettangolo in

[math]O[/math]

.
risultati[

[math]2p[/math]

=

[math]2(5+3[/math]

[math]\sqrt{5}[/math]

);

[math]S=20[/math]

]

Grazie in anticipo :thx :D

[bimbozza]

A è il punto di r di ascissa 4.
Calcoliamone l'ordinata sostituendo, nell'equazione della retta, il valore dato alla x:
r: y=-x/2
in x=4

[math]y=-4/2=-2[/math]

, quindi A ha coordinate (4,-2).

Per trovare l'ascissa di B, invece, sostituiamo in s il valore dato alla y
s: y=2x
in y=8

[math]8=2x[/math]

-> x=4 quindi B ha coordinate (4,8 ).

Verifichiamo che il triangolo è retto in O:
se il triangolo è rettangolo, le rette r e s devono essere ortogonali tra loro e quindi avere coefficiente angolare antireciproco.
Il coefficiente angolare di r è m=-1/2 quello di s è m'=2. m*m'=-1/2*2=-1 le due rette sono ortogonali.

Dati due punti

[math]P (x_p,y_p)[/math]

e

[math]Q (x_q,y_q)[/math]

il segmento che li unisce ha una lunghezza pari a

[math] PQ=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2}[/math]

.
Dovendo misurare il perimetro dobbiamo calcolare AB, AO, BO.

[math]A0=\sqrt{(4-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\\
BO= \sqrt{(4-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5[/math]

La lunghezza di AB, avendo la stessa ascissa, è pari alla differenza tra le loro ordinate(in valore assoluto), quindi

[math]AB=|-2-8|=10[/math]

Il perimetro del triangolo è quindi dato dalla somma dei tre segmenti, quindi

[math]2p=A0+AB+BO=2\sqrt5+4\sqrt5+10=10+6\sqrt5[/math]

.

Per quanto riguarda l'area, generalmente si calcola come base*altezza/2, dove, l'altezza viene misurata attraverso la formula della distanza tra punto e retta (ad esempio, se consideriamo per base del triangolo A0, l'altezza sarà data dalla distanza tra il punto B e la retta per A0). Nel tuo caso, però, abbiamo un lato che, nel piano cartesiano, risulta verticale, quindi la misura dell'altezza OH, relativa al lato AB, è pari alla differenza tra le ascisse:

[math]OH=4-0=4[/math]

.
L'area è quindi pari a

[math]AB*OH/2=10*4/2=20[/math]

.

Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure ^.^