Geometria Analitica - Fasci di rette (40237)

[stroke]

Salave a tutti, non ho ben capito come si rappresentano i fasci di rette.

Potreste spiegarmi i passaggi per rappresentare questo ipotetico fascio?

[math]-x+k(y-5)=0[/math]

Grazie a tutti.

[BIT5]

Il fascio di rette che hai scritto, equivale a (eseguendo la moltiplicazione)

[math] -x+ky-5k=0 \to x-ky+5k=0 [/math]

che e' la forma implicita del fascio di rette.

Per capire la tipologia di fascio e' importante riscriverlo in forma esplicita (ovvero nella forma y=mx+q)

[math] ky=x+5k \to y= \frac{1}{k} x + 5 [/math]

Dal momento che il parametro compare nel coefficiente angolare, il fascio di rette e' detto "proprio" (infatti al variare di k cambia la pendenza della retta) o fascio di centro.

Il fascio, come l'hai scritto tu, e' utile per trovare le generatrici del fascio nonche' il centro.

Le generatrici del fascio sono le due rette che trovi ponendo k=0 (e quindi rimarra'

[math] -x=0 \to x=0 [/math]

che e' l'asse delle y, e considerando poi la seconda retta che e' l'equazione , banalmente, di quello che hai tra parentesi (ovvero

[math] y-5=0 \to y=5 [/math]

che e' una retta parallela all'asse x.

Per trovare il centro, intersechi le due generatrici (in questo caso il centro e' banalmente (0,5).

Prendiamo un fascio piu' completo:

[math] x+5ky-5kx+2k-y=0 [/math]

Per capire il tipo di fascio, esegui un raccoglimento parziale di x e di y:

[math] x(1-5k)+y(5k-1)+2k=0 [/math]

Lo riscrivi in forma esplicita

[math] (5k-1)y=-(1-5k)x-2k \to y= \frac{5k-1}{5k-1}x-2k \to y=x-2k [/math]

In questo caso il variare di k non comporta variazione di pendenza e pertanto il fascio di rette e' improprio (ovvero tutte le rette del fascio sono parallele). Ovviamente non esistera' un centro, dal momento che tutte le rette del fascio (parallele) non si incontrano mai.

Un ultimo esempio:

[math] 4x+2kx-3y+3ky-5+7k=0 [/math]

Raccogliamo a fattore parziale x e y

[math] x(4-2k)+y(3k-3)-5+7k=0 \to y= \frac{2k-4}{3k-3}x+ \frac{5-7k}{3k-3} [/math]

Il fascio di rette e' proprio, il parametro compare nel coefficiente angolare.

Per trovare le generatrici e il centro del fascio dovrai (ritorniamo al fascio scritto in forma implicita) raccogliere k:

[math] 4x-3y-5+k(2x+3y+7)=0 [/math]

Le generatrici del fascio saranno:

[math] 4x-3y-5=0 [/math]

e

[math] 2x+3y+7=0 [/math]

Il centro del fascio sara' il punto di intersezione delle generatrici:

[math] \{4x-3y-5=0 \\ 2x+3y+7=0 [/math]

risolvi il sistema e trovi il centro del fascio.

Spero di averti chiarito le idee, almeno un po'.