Geometria analitica: famiglia di ?
Chiedo scusa ma la geometria analitica non è il mio forte 
L'equazione $x^2 -2xy +ky^2 +2x -6y +1 = 0$ rappresenta:
a) Una famiglia di parabole per k > 1
b) Una famiglia di iperboli per k < 1
c) Una famiglia di coniche degeneri
d) Una famiglia di ellissi per k < 1
e) Le altre affermazioni sono false
Ora, vista l'equazione generale di ellissi e iperboli, penso possa essere solo una delle due. Ma quale? Grazie
L'equazione $x^2 -2xy +ky^2 +2x -6y +1 = 0$ rappresenta:
a) Una famiglia di parabole per k > 1
b) Una famiglia di iperboli per k < 1
c) Una famiglia di coniche degeneri
d) Una famiglia di ellissi per k < 1
e) Le altre affermazioni sono false
Ora, vista l'equazione generale di ellissi e iperboli, penso possa essere solo una delle due. Ma quale? Grazie
Risposte
Bisogna ridurre la conica in forma canonica... oppure più semplicemente sfruttare il teorema di Eulero:
data una conica nella forma $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2dy+f=0$ posto $\delta=b^2-ac$, si avrà:
- se $\delta > 0$ allora la conica è un'iperbole;
- se $\delta = 0$ allora la conica è una parabola;
- se $\delta < 0$ allora la conica è un'ellisse.
Nel tuo caso si ha $\delta = 1-k$ si avrà:
- una famiglia di iperboli per $k<1$
- una famiglia di ellissi per $k>1$
- una famiglia di parabole per $k=1$
data una conica nella forma $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2dy+f=0$ posto $\delta=b^2-ac$, si avrà:
- se $\delta > 0$ allora la conica è un'iperbole;
- se $\delta = 0$ allora la conica è una parabola;
- se $\delta < 0$ allora la conica è un'ellisse.
Nel tuo caso si ha $\delta = 1-k$ si avrà:
- una famiglia di iperboli per $k<1$
- una famiglia di ellissi per $k>1$
- una famiglia di parabole per $k=1$
il problema è banale se conosci il discrimante di una conica. sai che cos'è o come si calcola? ciao.
Grazie Maurer... adaBTTLS a dire il vero no 
è la stessa cosa che ti ha scritto maurer $Delta=b^2-4*a*c$, formula che conosci già... però applicata alle coniche, senza prima trasformarle.
Per evitare malintesi preferisco chiarire quel $4$ che compare nella formula riportata da adaBTTLS e che nella mia non c'era...
adaBTTLS prende una conica generica di equazione $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, quindi si avrà $\delta=(b/2)^2-ac=1/4(b^2-4ac)$ e quindi,
visto che $1/4$ non influisce sul segno, $\Delta=b^2-4ac$...
Sbaglio adaBTTLS?
adaBTTLS prende una conica generica di equazione $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, quindi si avrà $\delta=(b/2)^2-ac=1/4(b^2-4ac)$ e quindi,
visto che $1/4$ non influisce sul segno, $\Delta=b^2-4ac$...
Sbaglio adaBTTLS?
io non conoscendo tutte queste formule l'ho risolto così:
nell'equazione dell'iperbole i termini x^2 e y^2 sono fra loro discordi mentre nell'ellisse sono concordi.
come dici tu la soluzione riguarda solo la b e la d: perciò se si sostituisce k<1 si osserva che è l'equazione dell'iperbole mentre per ottenere un'ellisse occorreva porre k>1.
nell'equazione dell'iperbole i termini x^2 e y^2 sono fra loro discordi mentre nell'ellisse sono concordi.
come dici tu la soluzione riguarda solo la b e la d: perciò se si sostituisce k<1 si osserva che è l'equazione dell'iperbole mentre per ottenere un'ellisse occorreva porre k>1.
Caro Valerio temo che il problema non sia così semplice come lo vedi tu, perché la presenza del termine misto indica che la figura, per assumere la sua equazione canonica, deve essere ruotata.
Pensa solo che in questo problema con $ k=1$ si ottiene una parabola e con $k=1/2$, quindi con $x^2$ e $y^2$ concordi si ottiene una iperbole.
Certo, dovendo scegliere tra le risposte LA risposta esatta, ci si poteva arrivare anche con il tuo metodo ma adaBTTLS e maurer hanno anche cercato di spiegare perché.
Pensa solo che in questo problema con $ k=1$ si ottiene una parabola e con $k=1/2$, quindi con $x^2$ e $y^2$ concordi si ottiene una iperbole.
Certo, dovendo scegliere tra le risposte LA risposta esatta, ci si poteva arrivare anche con il tuo metodo ma adaBTTLS e maurer hanno anche cercato di spiegare perché.
si si però io non conoscendo tutte quelle formule e dovendo dare una risposta fra quelle elencate ho ragionato così. se mi chiedevate il motivo di tale scelta non so spiegarvelo anche perchè a scuola abbiamo affrontato le iperboli ma non c'era il termine xy . comunque grazie per la precisazione
@ maurer
ho visto solo ora il tuo ultimo intervento.
certo che è la stessa cosa: tu hai fatto riferimento alla matrice principale di una conica, ed hai chiamato $delta$ quello che, in riferimento al discriminante delle equazioni di secondo grado, io ho chiamato $(Delta)/4$.
ciao.
ho visto solo ora il tuo ultimo intervento.
certo che è la stessa cosa: tu hai fatto riferimento alla matrice principale di una conica, ed hai chiamato $delta$ quello che, in riferimento al discriminante delle equazioni di secondo grado, io ho chiamato $(Delta)/4$.
ciao.
"valerio cavolaccio":
... comunque grazie per la precisazione
Prego
ma al liceo non si studiano le classi di coniche con il prodotto (es. x*y)
No, in genere l'unico tipo di conica ruotata che si studia è la funzione omografica... anche se io avevo studiato le coniche in generale su degli appunti per liceo che mi aveva dato il mio insegnante e che aveva trovato su internet...
si la prof ci aveva accennato che noi studiavamo particolari ellissi , particolari parabole e iperboli però ci aveva detto che l'equazione di una qualsiasi conica era: $a*(x^2)+b*(y^2)+c*x*y+d*x+e*y+f$ inoltre aveva detto che sono sufficienti 5 punti in quanto si può per esempio dividere l'equazione della conica per un fattore comune. rimangono pertanto 5 punti per determinare una conica.
Per la precisione l'equazione di una qualsiasi conica è: $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ , il termine misto deve stare in mezzo tra i due termini di secondo grado e devi porre il tutto uguale a zero. Il resto è corretto.
ok scusate l'imprecisione ma era solo un ricordo!
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