[Geometria analitica] - ellisse + retta

[fenice98]

Scusate c'è qualcuno che mi può aiutare a risolvere
un problema? È urgente, mi serve per domani. Grazie!


L'ellisse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ha eccentricità 4/5 e asse minore 2b = 12.

Determinare:

1) l'equazione cartesiana di tale curva;

2) le coordinate dei punti P e Q d'intersezione fra la curva e la retta 2x - 5y + 2 = 0;

3) le coordinate degli eventuali punti di intersezione della retta di
equazione x + 4y - 4 = 0 con l'ellisse di equazione x^2/16 + y^2/9 = 1;

4) q in modo che la retta y = 2x + q sia tangente all'ellisse 4x^2 + 9y^2 = 36.

[Studente Anonimo]

Ciao fenice98. Vediamo un po'...

1.

[math]\begin{cases} \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{4}{5} \\ 2b = 12 \end{cases}\\[/math]

;


2. noti

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

:

[math]\begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ 2x - 5y + 2 = 0 \end{cases}\\[/math]

;


3.

[math]\begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ x + 4y - 4 = 0 \end{cases}\\[/math]

;


4. intersecando l'ellisse con la retta si ha

[math]4\,x^2 + 9\,(2\,x + q)^2 = 36[/math]

, ossia

[math]40\,x^2 + 36\,q\,x + (9\,q^2 - 36) = 0[/math]

.
La condizione di tangenza, al solito,
consiste nell'imporre

[math]\Delta = 0[/math]

.


A te i conticini. ;)