Geometria analitica consigli
ragazzi,non mi esce,mi aiutate a svolgere questo esercizio?
Risposte
Consideriamo la generica circonferenza di equazione
con centro
1) passaggio per
2) tangenza a
(
Pertanto, dal momento che i centri sono
da cui, con un po' di calcoli si ricava
A questo punto combiniamo la prima condizione con una delle due appena scritte: si ha il sistema
Sostituendo la seconda nella prima si ottiene
da cui
da cui, dividendo per
che è l'equazione di una ellisse.
In modo analogo con l'altra condizione si ha il sistema
Sostituendo la seconda nella prima si ottiene
da cui
da cui, dividendo per
che è la stessa equazione dell'ellisse.
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Scriviamo l'equazione dell'ellisse precedente come
Tale equazione ammette soluzioni quando il discriminante è maggiore o uguale a zero, per cui
e nei casi in cui
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Le rette tangenti hanno equazione
da cui
Il segmento di estremi MN ha equazione
con
e quindi si ha
da cui le soluzioni
[math](x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2[/math]
con centro
[math]C(\alpha,\beta)[/math]
e raggio [math]r[/math]
e imponiamo le condizioni richieste.1) passaggio per
[math]A[/math]
: sostituendo si ha[math](2-\alpha)^2+(0-\beta)^2=r^2\ \Rightarrow\ \beta^2-r^2=-(2-\alpha)^2[/math]
2) tangenza a
[math]\gamma[/math]
: osserviamo che due circonferenze tangenti lo possono essere internamente o esternamente: se indichiamo con [math]C,\ C'[/math]
i loro centri e con [math]r, r'[/math]
i loro raggi, allora esse sono tangenti internamente se[math]d(C,C')=|r-r'|[/math]
(
[math]d[/math]
è la distanza tra i centri) e sono tangenti esternamente se[math]d(C,C')=r+r'[/math]
Pertanto, dal momento che i centri sono
[math]C(\alpha,\beta),\ C'(-2,0)[/math]
e i raggi [math]r,\ r'=5[/math]
, si hanno le condizioni[math]\sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2}=|r-5|,\qquad \sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2}=r+5[/math]
da cui, con un po' di calcoli si ricava
[math](\alpha+2)^2+\beta^2=r^2-10r+25,\quad (\alpha+2)^2+\beta^2=r^2+10r+25[/math]
A questo punto combiniamo la prima condizione con una delle due appena scritte: si ha il sistema
[math]\left\{\begin{array}{l}
(\alpha+2)^2+\beta^2=r^2-10r+25\\ \beta^2-r^2=-(2-\alpha)^2
\end{array}\right.[/math]
(\alpha+2)^2+\beta^2=r^2-10r+25\\ \beta^2-r^2=-(2-\alpha)^2
\end{array}\right.[/math]
Sostituendo la seconda nella prima si ottiene
[math](\alpha+2)^2-(2-\alpha)^2=-10r+25\ \Rightarrow\ 8\alpha=25-10r\ \Rightarrow\ r=\frac{25-8\alpha}{10}=\frac{5}{2}-\frac{4\alpha}{5}[/math]
da cui
[math]\beta^2-\frac{25}{4}+4\alpha-\frac{16}{25}\alpha^2=-4+4\alpha-\alpha^2\ \Rightarrow\ \frac{9}{25}\alpha^2+\beta^2=\frac{9}{4}[/math]
da cui, dividendo per
[math]9/4[/math]
[math]\frac{\alpha^2}{25/4}+\frac{\beta^2}{9/4}=1[/math]
che è l'equazione di una ellisse.
In modo analogo con l'altra condizione si ha il sistema
[math]\left\{\begin{array}{l}
(\alpha+2)^2+\beta^2=r^2+10r+25\\ \beta^2-r^2=-(2-\alpha)^2
\end{array}\right.[/math]
(\alpha+2)^2+\beta^2=r^2+10r+25\\ \beta^2-r^2=-(2-\alpha)^2
\end{array}\right.[/math]
Sostituendo la seconda nella prima si ottiene
[math](\alpha+2)^2-(2-\alpha)^2=+10r+25\ \Rightarrow\ 8\alpha=25+10r\ \Rightarrow\ r=\frac{-25+8\alpha}{10}=-\frac{5}{2}+\frac{4\alpha}{5}[/math]
da cui
[math]\beta^2-\frac{25}{4}+4\alpha-\frac{16}{25}\alpha^2=-4+4\alpha-\alpha^2\ \Rightarrow\ \frac{9}{25}\alpha^2+\beta^2=\frac{9}{4}[/math]
da cui, dividendo per
[math]9/4[/math]
[math]\frac{\alpha^2}{25/4}+\frac{\beta^2}{9/4}=1[/math]
che è la stessa equazione dell'ellisse.
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Scriviamo l'equazione dell'ellisse precedente come
[math]36x^2+100y^2=225[/math]
. Mettendo a sistema con l'equazione della retta si ricava l'equazione parametrica con incognita [math]x[/math]
e parametro [math]t[/math]
[math]36x^2+100\left(\frac{16}{25} x^2+\frac{8}{5} xt+t^2\right)=225\ \Rightarrow\\ 100x^2+160 t x+100t^2-225=0[/math]
Tale equazione ammette soluzioni quando il discriminante è maggiore o uguale a zero, per cui
[math](160 t)^2-4\cdot 100\cdot(100 t^2-225)\ge 0\ \Rightarrow\ -36 t^2+225\ge 0\ \Rightarrow\\ 36 t^2-225\le 0\ \Rightarrow\ -\frac{5}{2}\le t\le \frac{5}{2}[/math]
e nei casi in cui
[math]t=\pm\frac{5}{2}[/math]
la retta è tangente.-----------------------------------------------------------------------
Le rette tangenti hanno equazione
[math]y=\frac{4}{5} x\pm\frac{5}{2}[/math]
. In tal caso, intersecando la circonferenza con tali rette si ha l'equazione[math]100x^2\pm 400 x+400=0\ \Rightarrow\ (x\pm 2)^2=0[/math]
da cui
[math]x=\mp 2[/math]
e [math]y=\mp\frac{8}{5}\pm\frac{5}{2}=\pm\frac{9}{10}[/math]
e quindi i punti di intersezione[math]N\left(-2,\frac{9}{10}\right)\qquad M\left(2,-\frac{9}{10}\right)[/math]
Il segmento di estremi MN ha equazione
[math]x=2(1-t)-2t=2-4t,\\ y=-\frac{9}{10}(1-t)+\frac{9}{10}t=\frac{9}{10}(2t-1)[/math]
con
[math]0\le t\le 1[/math]
. Preso un punto [math]P(x,y)[/math]
di tale segmento, le distanze richieste misurano[math]d_y=|x|=|2-4t|=2|2t-1|,\qquad d_x=|y|=\frac{9}{10}|2t-1|[/math]
e quindi si ha
[math]2|2t-1|-\frac{9}{10}|2t-1|=\frac{11}{15}\ \Rightarrow\ \frac{11}{10}|2t-1|=\frac{11}{15}\ \Rightarrow\\ |2t-1|=\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ 2t-1=\pm\frac{2}{3}[/math]
da cui le soluzioni
[math]t=5/6,\ t=1/6[/math]
entrambe accettabili. I punti cercati sono allora[math]P_1(-4/3, 3/5),\qquad P_2(4/3, -3/5)[/math]
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