Geometria analitica: circonferenza

[gabry1821]

salve a tutti

come imposto il sistema per trovare la circonferenza sapendo che le rette y= 2x - 2 e y= 2x + 2 sono tangenti ad essa e ke il centro appartiene alla retta y= 5x - 3 ?

le tre condizioni necessarie ci sono, ma se ad esempio come condizione metto a sistema la prima retta con l'equazione generale della circonferenza, mi viene un sistema a 5 incognite (x, y, a, b, c)...

[@melia]

Siccome le due rette tangenti sono parallele risulta abbastanza semplice trovare il raggio della circonferenza (la distanza tra le due rette non è altro che il diametro). Inoltre il centro della circonferenza appartiene alla retta che è equidistante dalle due tangenti, ovvero alla retta $y=2x$.
Puoi mettere a sistema $y=2x$ con $y=5x-3$ così trovi il centro. Con centro e raggio il problema dovrebbe essere risolto.

[MaMo2]

"gabry182":
...
le tre condizioni necessarie ci sono, ma se ad esempio come condizione metto a sistema la prima retta con l'equazione generale della circonferenza, mi viene un sistema a 5 incognite (x, y, a, b, c)...

La x e la y non sono incognite ma variabili...

[gabry1821]

@melia 6 un genio

x MaMo: dunque cosa dovrei mettere al posto di x e y?

[kekko989]

Se tu hai $y=3x+2$. $x$ e $y$ non sono ingognite da trovare,ma sono variabili arbitrarie. O meglio,la x è una variabile indipendente,a cui tu puoi,in questo caso,attribuire qualsiasi valore. E la y è una variabile dipendente,perchè dipende dal valore che tu scegli per la x. Se tu attribuisci alla x il valore 2, allora $x=2$ e $y=6+2=8$ e ottieni il punto $P(2;8)$.

[gabry1821]

ah capito grazie.

[@melia]

"gabry182":@melia 6 un genio

Grazie.

[gabry1821]

ho calcolato il raggio facendo la distanza punto retta...esiste una formula per calcolare direttamente la distanza fra 2 rette parallele?

[franced]

"gabry182":ho calcolato il raggio facendo la distanza punto retta...esiste una formula per calcolare direttamente la distanza fra 2 rette parallele?

Di formule ne puoi scrivere milioni, ma a volte conviene ragionare.
Nel nostro caso, dato che abbiamo due rette parallele, conviene
calcolare la distanza di un generico punto appartenente a $r$
dall'altra retta $s$.

[franced]

"franced":[quote="gabry182"]ho calcolato il raggio facendo la distanza punto retta...esiste una formula per calcolare direttamente la distanza fra 2 rette parallele?

Di formule ne puoi scrivere milioni, ma a volte conviene ragionare.
Nel nostro caso, dato che abbiamo due rette parallele, conviene
calcolare la distanza di un generico punto appartenente a $r$
dall'altra retta $s$.[/quote]

Ad esempio, se hai la retta

$y = 2x + 2$

conviene scegliere il punto $P(0;2)$
e calcolare la distanza di $P$ dalla retta $y = 2x - 2$:

$d = (|2 \cdot 0 - 2 - 2|)/(sqrt(1^2+2^2)) = 4/sqrt(5)$ .

Il raggio della circonferenza è, ovviamente, la metà di questa
distanza:

$R = d/2 = 2/sqrt(5)$ .

[franced]

In ogni caso, se si vuole a tutti i costi una bella formuletta,
basta fare due calcoli e si trova che:

$d = (|k_2-k_1|)/(sqrt(1+m^2))$

è la distanza delle rette parallele

$y = mx + k_1$

e

$y = mx + k_2$ ;

se le rette parallele sono parallele all'asse delle ordinate
la loro distanza è ovvia..


Sconsiglio vivamente l'uso della formuletta che ho scritto:
uno studente deve ragionare, non deve essere un memorizzatore
di formule.