Geometria analitica: circonferenza

[gabry1821]

salve buone anime di matematicamente

come trovo una circonferenza sapendo che passa per A(0;6) B(4;0) e che il centro sta sulla retta x-y+1=0 ?

[_Tipper]

Ci sono vari modi. Un generico punto su tale retta si scrive come $P = (k, k+1)$, $k \in \mathbb{R}$; calcoli $\bar{PA}$, $\bar{PB}$, li uguagli e ricavi $k$. Puoi invece scrivere l'equazione dell'asse del segmento $AB$, metterlo a sistema con la retta $x - y + 1 = 0$, trovando così il centro. Oppure puoi usare altri metodi, che adesso non mi sono venuti in mente, sfruttando le proprietà della circonferenza.

[gabry1821]

perdona l'ignoranza, ma l'asse del segmento AB sarebbe la retta passante per questi punti? in questo caso come faccio a sapere ke l'intersezione tra le due rette mi dà il centro?

[_Tipper]

L'asse di $AB$ è la retta perpendicolare ad $AB$ passante per il punto medio (sempre di $AB$, ovviamente). Facendo l'intersezione fra tale asse e la retta data trovi il centro perché viene sfruttata questa proprietà: data una circonferenza, una retta passante per il centro è perpendicolare ad una corda se e soltanto se la interseca nel punto medio.

[gabry1821]

chiaro, grazie mille.

[franced]

"gabry182":salve buone anime di matematicamente

come trovo una circonferenza sapendo che passa per A(0;6) B(4;0) e che il centro sta sulla retta x-y+1=0 ?

Per avere il centro del cerchio ti calcoli l'asse del segmento $AB$ e trovi l'intersezione con la retta $x-y+1=0$.

L'asse ha equazione:

$(x-0)^2+(y-6)^2 = (x-4)^2+(y-0)^2$

semplifichi e trovi

$-12y + 36 = 16 - 8x$

$8x - 12y = -20$

$2x - 3y = -5$.

[Sk_Anonymous]

Data l'equazione canonica di una circonferenza $gamma$ :$x^2+y^2+ax+by+c=0$
si dimostra che il centro $C$ ha coordinate $C(-a/2;-b/2)$
quindi le coordinate del centro devono soddisfare l'equazione della retta (prima condizione)
poi imponi,nell'equazione della circonferenza, il passaggio per $A$ e $B$
quindi metti tutto a sistema(sono tre equazioni lineari nelle tre incognite $a,b,c$)

[gabry1821]

dunque, ho provato con l'asse che mi ha suggerito franced, ma facendo l'intersezione con la retta il centro mi veniva C(-8;-7) di conseguenza la circonferenza mi veniva x^2 + y^2 + 16x+14y+88=0. il risultato che mi dà la fotocopia su cui è scritto l'esercizio invece è x^2 + y^2 -4x-6y=0.

sempre usando il metodo di trovare il centro con l'intersezione tra l'asse e la retta ho calcolato ke il punto medio tra A e B è M(2;3) , il coefficiente angolare dell'asse m=2/3 , l'equazione dell'asse y=2/3x ed il centro (-3;2) ...e l'equazione della circonferenza viene ancora sbagliata

P.S. facendo la distanza punto-retta il raggio mi viene 5 radice di 2 /2 ma non è in merito a questo ke la circonferenza viene sbagliata

[franced]

"gabry182":dunque, ho provato con l'asse che mi ha suggerito franced, ma facendo l'intersezione con la retta il centro mi veniva C(-8;-7) di conseguenza la circonferenza mi veniva x^2 + y^2 + 16x+14y+88=0. il risultato che mi dà la fotocopia su cui è scritto l'esercizio invece è x^2 + y^2 -4x-6y=0.

sempre usando il metodo di trovare il centro con l'intersezione tra l'asse e la retta ho calcolato ke il punto medio tra A e B è M(2;3) , il coefficiente angolare dell'asse m=2/3 , l'equazione dell'asse y=2/3x ed il centro (-3;2) ...e l'equazione della circonferenza viene ancora sbagliata

P.S. facendo la distanza punto-retta il raggio mi viene 5 radice di 2 /2 ma non è in merito a questo ke la circonferenza viene sbagliata

con il mio metodo devi risolvere il sistema lineare seguente:

$\{ (x - y + 1 = 0),(2x - 3y + 5 = 0) :}$

le coordinate del centro della circonferenza sono:

$C = (2 , 3)$

Visto che $C$ è il punto medio del segmento $AB$ (non è difficile vederlo..)
la circonferenza passa dall'origine (fai il disegno e lo vedi bene).
La circonferenza ha dunque equazione

$x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$

[franced]

Se questo metodo non ti piace puoi sempre fare i calcoli:
il raggio della circonferenza lo trovi semplicemente
calcolando la distanza $AC$ e trovi

$R = sqrt(13)$.

L'equazione cartesiana della circonferenza è

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13$

svolgi e trovi ancora

$x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$

Non c'è trucco e non c'è inganno..

[franced]

Dal momento che $AB$ è un diametro della circonferenza, quest'ultima,
oltre a passare come detto prima dall'origine, passa anche dal punto $(4;6)$.

Per la cronaca: il punto $(4;6)$ è il centro istantaneo di rotazione del segmento $AB$
mentre scivola verso il basso.

[gabry1821]

grazie mille..ultimo dubbio per trovare l'asse hai utilizzato una formula? se è così il mio proffe nn me l'aveva mai insegnata..

[franced]

"gabry182":grazie mille..ultimo dubbio per trovare l'asse hai utilizzato una formula? se è così il mio proffe nn me l'aveva mai insegnata..

Guarda, devi ragionare così:
come devono essere fatti i punti $P=(x;y)$ tali che $P$ sia distante da $A$
quanto lo è da $B$?

Deve risultare:

$\sqrt((x-x_A)^2+(y-y_A)^2) = \sqrt((x-x_B)^2+(y-y_B)^2)$

ecc..

[gabry1821]

e con questo mi trovo l'asse..perfetto. Grazie mille