Geometria analitica: circonferenza

[remember me]

scrivere le equazioni delle rette passanti per P (7;1/2) e tangenti in A e in B alla circonferenza x^2+y^2-4xx-4y-17=0. Dopo aver calcolato le coordinate dei punti dei punti A e B di contatto, determinare l'area del triangolo PAB.

[BIT5]

tutte le rette passanti per un punto, di coordinate xP e yP, appartengono al fascio

[math] y-y_P=m(x-x_P) [/math]

quindi il fascio di rette per P sara'

[math] y- \frac12 = m(x-7) \to mx-y-7m+ \frac12 [/math]

Di queste rette dobbiamo trovare le due rette tangenti:

un metodo sarebbe mettere a sistema il fascio con la circonferenza, trovare i generici punti di intersezione (che saranno 4) tra il fascio e la circonferenza (in funzione di m) e poi fare in modo che questi punti siano coincidenti, a due a due. Ma questo metodo e' molto lungo, e ti porta a calcoli assurdi.

Invece, ricordando che una retta tangente, e' perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza, e che il raggio e' la distanza tra la retta e il centro, allora troviamo:

la lunghezza del raggio della circonferenza

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

[math] r= \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \(- \frac{b}{2} \)^2 - c} [/math]

Quindi

[math] r= \sqrt{(-2)^2+(2)^2+17} = \sqrt{4+4+17} = \sqrt{25} = 5 [/math]

e il centro sara'

[math] C (-2,2) [/math]

ricordiamo che la distanza punto

[math] P(x_P,y_P) [/math]

/retta (in forma implicita

[math] ax+by+c=0 [/math]

si calcola come

[math] d= \frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

quindi nell'esercizio, la distanza sara' il raggio, xP e yP le coordinate del centro e i parametri a,b,c del fascio in forma implicita saranno

a=m
b=-1
c=1/2-7m

pertanto

[math] 5= \frac{|-2m-1(2)+ \frac12-7m|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} [/math]

e dunque

[math] 5= \frac{|-2m-2+ \frac12 - 7m|}{\sqrt{m^2+1}} \to 5= \frac{|-9m- \frac32|}{\sqrt{1+m^2}} [/math]

Minimo comune multiplo

[math] \frac{5 \sqrt{1+m^2}}{\sqrt{1+m^2}} = \frac{|-9m-\frac32|}{\sqrt{1+m^2}} [/math]

E semplifichiamo il denominatore (il campo di esistenza e' sempre verificato in quanto il radicando e' sempre maggiore di zero)

[math] 5 \sqrt{1+m^2} = |-9m- \frac32| [/math]

leviamo il valore assoluto

[math] \pm 5 \sqrt{1+m^2} = -9m- \frac32 [/math]

Minimo comune multiplo (cosi' eliminiamo il 2 del 3/2)

[math] \pm 10 \sqrt{1+m^2} = -18m-3 [/math]

a questo punto elevi tutto al quadrato (quel +- scompare, in quanto elevando al quadrato, sia - che + diventano +)

[math] 100(1+m^2)= (-18m-3)^2 [/math]

quindi

[math] 100+100m^2=18^2m^2+2(-18m)(-3)+3^2 [/math]

risolvi, trovi i due valori di m che sostituiti al fascio, ti daranno le due rette del fascio, che hanno dal centro una distanza pari al raggio (tangenti)

A questo punto, metti a sistema ogni retta con la circonferenza, e trovi i punti A e B

infine, calcoli l'area del triangolo:

calcolando la base (distanza tra due punti, ad esempio A e B)
l'altezza (ovvero calcolando dapprima l'equazione della retta passante per AB e poi la distanza da P)