Geometria analitica (8014)

[Noel]

Due lati di un parallelogrammo ABCD appartengono alle rette
x+2y-3=0
y=1/2x+3/2
y=2x+4

vertice A (5,4)
determinare BCD sapendo che il parallelogrammo è un quadrato

[SuperGaara]

Lo faccio io...

[Noel]

ok

[SuperGaara]

Chiamo le tre rette rispettivamente r, s, t:

[math]r:\;x+2y-3=0\\s:\;y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\t:\;y=2x+4[/math]

Se due lati del quadrato ABCD appartengono a due di queste tre rette, allora essi appartengono alle due rette tra loro perpendicolari (poiché i lati di un quadrato sono a due a due perpendicolari).

Le rette perpendicolari sono r e t, poiché il coefficiente angolare (m) di r (cioè -1/2) è l’antireciproco di quello della retta t (2):

[math]m_r=-\frac{1}{m_t} [/math]

Il quadrato perciò si costruirà come in figura:



Dal disegno si nota che A appartiene alla retta s. Per verificare se questo è vero, basta sostituire le coordinate di A nell’equazione della retta s e vedere se viene fuori un’identità:

[math]y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\ 4=\frac{1}{2} \times 5+\frac{3}{2}\\ 4=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\\ 4=4\;vero[/math]

Dunque effettivamente A appartiene a s.

Ora possiamo trovare il punto C, intersecando le rette r e t; mettiamo a sistema le due equazioni:

[math]\left\{\begin{array}{c} x+2y-3=0 \\ y=2x+4 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c} x+2(2x+4)-3=0 \\ y=2x+4 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c} x+4x+8-3=0 \\ y=2x+4 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} 5x=-5\\ y=2x+4 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c}{c} x=-1 \\ y=-2+4=2 \end{array}\right.[/math]

Quindi abbiamo trovato il punto

[math]C(-1;2)[/math]

Il punto B appartiene all’intersezione tra la retta r e la perpendicolare alla retta r passante per A (sempre dal momento in cui i lati di ABCD sono tra loro perpendicolari).

Troviamo la retta AB, sapendo che il suo coefficiente angolare è l’antireciproco di quello della retta r e che essa passa per A:

[math]y-4=2(x-5)[/math]

Intersechiamo le due rette, mettendo a sistema le loro equazioni:

[math]\left\{ \begin{array}{c} y-4=2(x-5) \\ x+2y-3=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c} y-4=2(-2y-2) \\ x=-2y+3 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} y-4=-4y-4 \\ x=-2y+3 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} 5y=0 \\ x=-2y+3 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} y=0 \\ x=3 \end{array}\right.[/math]

Quindi

[math]B(3;0)[/math]

.

Il punto D, invece, appartiene all’intersezione tra la retta t e la retta perpendicolare a t passante per A.

La retta AD:

[math]y-4=-\frac{1}{2}(x-5)[/math]

Mettiamo a sistema:

[math]\left\{\begin{array}{c} y-4=-\frac{1}{2}(x-5)\\ y=2x+4 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} 2x+4-4=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \\ y=2x+4 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} 2x+\frac{1}{2}x=\frac{5}{2} \\ y=2x+4 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} \frac{5}{2}x=\frac{5}{2} \\ y=2x+4 \end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{c} x=1 \\ y=6 \end{array}\right.[/math]

Pertanto abbiamo trovato anche il punto

[math]D(1;6)[/math]

.

Ricapitolando, il quadrato ABCD ha come vertici:

[math]A(5;4)\\B(3;0)\\C(-1;2)\\D(1;6)[/math]

[Noel]

ok sei stato chiarissimo,grazie

[SuperGaara]

Ok, allora chiudo!

Cmq se hai altri dubbi basta chiedere ;)