Geometria Analitica (39266)
Salve, mi servirebbe aiuto per questi problemi:
1) è dato il triangolo di vertici A(-2;-2), B(-1;4), C(5;0). Verificare che le tre altezze passano per uno stesso punto (ortocentro) 4e calcolare l'area del triangolo.
2) Si considerino i punti A(1;3) e B(5;1) e si scriva l'equazione della retta r, asse di AB. Sia C il punto si intersezione di r con l'asse x e D quello di intersezione di r con l'asse y. Determinare la misura dell'area del quadrilatero concavo ACBD.
(4° Anno Liceo Classico.)
1) è dato il triangolo di vertici A(-2;-2), B(-1;4), C(5;0). Verificare che le tre altezze passano per uno stesso punto (ortocentro) 4e calcolare l'area del triangolo.
2) Si considerino i punti A(1;3) e B(5;1) e si scriva l'equazione della retta r, asse di AB. Sia C il punto si intersezione di r con l'asse x e D quello di intersezione di r con l'asse y. Determinare la misura dell'area del quadrilatero concavo ACBD.
(4° Anno Liceo Classico.)
Risposte
1) devi trovare l'equazione della retta passante per i punti (presi due per volta)
Ad esempio la retta passante per AB sara'
e dunque
pertanto
A questo punto sai che l'altezza relativa alla base AB sara' perpendicolare a questa retta (e quindi avra' coefficiente angolare (pendenza) pari all' antireciproco della pendenza della retta AB (
e quindi l'equazione dell'altezza relativa ad AB sara'
Analogamente trovi un'altra altezza, metti a sistema con questa e trovi il loro punto di intersezione.
Trovi la terza altezza e verifichi che le coordinate del punto di intersezione delle prime due altezza soddisfano l'equazione della terza altezza trovata (ovvero sostituisci all'equazione della terza altezza le coordinate del punto e verifichi che l'equazione sia verificata)
Dimmi se questo ti riesce, cosi' vediamo il secondo (che e' piu' o meno simile)
Ad esempio la retta passante per AB sara'
[math] \frac{y-y_A}{y_B-y_A}= \frac{x-x_A}{x_B-x_A} [/math]
e dunque
[math] \frac{y+2}{4+2}= \frac{x+2}{-1+2} \to \frac{y+2}{6}=\frac{x+2}{1} [/math]
pertanto
[math] y+2=6x+12 \to y=6x+10 [/math]
A questo punto sai che l'altezza relativa alla base AB sara' perpendicolare a questa retta (e quindi avra' coefficiente angolare (pendenza) pari all' antireciproco della pendenza della retta AB (
[math] - \frac{1}{m} \to - \frac{1}{6} [/math]
e passera' per il punto C, quindi le coordinate di C ne dovranno soddisfare l'equazione:[math] y_C=- \frac16 x_C+q \to 0=- \frac16 \cdot 5 + q \to q= \frac56 [/math]
e quindi l'equazione dell'altezza relativa ad AB sara'
[math] y=- \frac16x + \frac56 [/math]
Analogamente trovi un'altra altezza, metti a sistema con questa e trovi il loro punto di intersezione.
Trovi la terza altezza e verifichi che le coordinate del punto di intersezione delle prime due altezza soddisfano l'equazione della terza altezza trovata (ovvero sostituisci all'equazione della terza altezza le coordinate del punto e verifichi che l'equazione sia verificata)
Dimmi se questo ti riesce, cosi' vediamo il secondo (che e' piu' o meno simile)
Allora io ho trovato l'equazione di AC che dovrebbe essere -3y= -2x+10
e il coeff angolare -1/2.
Solo che da qui non riesco ad andare avanti e non so poi come trovare l'area :(
e il coeff angolare -1/2.
Solo che da qui non riesco ad andare avanti e non so poi come trovare l'area :(
scusa ma da dove esce fuori quel coefficiente angolare?
Oddio non ci far caso ai calcoli da ebete che faccio però avevo pensato che se il coeff è uguale a -1/m, m doveva essere il -2 che si trova nell'equazione della retta che ho trovato.
ma prima devi scriverti la retta in forma esplicita!
supposta corretta la retta che hai scritto, prima devi portarla nella forma
Poi allora calcoli la pendenza (che sara'
.
supposta corretta la retta che hai scritto, prima devi portarla nella forma
[math] y= \frac23 x - \frac{10}{3} [/math]
Poi allora calcoli la pendenza (che sara'
[math] - \frac 32 [/math]
).
Percui comunque adesso che so qual'è il coefficiente devo operare il calcolo yb= -3/2xb+q ---> 4= -3/2(-1)+q ---> 4= 3/2+q
Va bene e poi come vado avanti e in che modo trovo l'area?
Va bene e poi come vado avanti e in che modo trovo l'area?
metti a sistema questa retta con l'altezza relativa ad AB e trovi il punto di intersezione.
Poi trovi la terza retta relativa a CA e guardi se il punto di intersezione delle precedenti soddisfa l'equazione della terza retta.
Verifichi cosi' che il punto appartiene anche alla terza retta.
Per l'area calcoli la distanza, ad esmepio, tra A e B (base) utilizzando la formula della distanza tra 2 punti, e la distanza da C alla retta AB (utilizzando la distanza punto-retta) e trovi l'altezza.
A questo punto, base x altezza :2 e hai l'Area.
Poi trovi la terza retta relativa a CA e guardi se il punto di intersezione delle precedenti soddisfa l'equazione della terza retta.
Verifichi cosi' che il punto appartiene anche alla terza retta.
Per l'area calcoli la distanza, ad esmepio, tra A e B (base) utilizzando la formula della distanza tra 2 punti, e la distanza da C alla retta AB (utilizzando la distanza punto-retta) e trovi l'altezza.
A questo punto, base x altezza :2 e hai l'Area.
Ok grazie mille e invece per quanto riguarda il secondo esercizio?
l'asse e' perpendicolare ad AB (quindi devi calcolarti l'equazione di AB da cui prendi l'antireciproco della pendenza) e passa per il suo punto medio (e quindi devi calcolarti il punto medio).
Poi, una volta trovata r, trovi i punti di intersezione con l'asse y (ponendo x=0) e con l'asse x (ponendo y=0)
L'area del quadrilatero sara' la somma delle aree delle figure che riconosci.
Poi, una volta trovata r, trovi i punti di intersezione con l'asse y (ponendo x=0) e con l'asse x (ponendo y=0)
L'area del quadrilatero sara' la somma delle aree delle figure che riconosci.
Va bene per il secondo esercizio non dovrei avere problemi solo che con il primo continuo a non riuscire a finire..Mi blocco sempre al punto di prima perchè vedo che i calcoli poi non vengono bene..
Aggiunto 6 minuti più tardi:
Comunque nel secondo ho trovato l'equazione della retta che passa per A e per B e dovrebbe essere -y=1/2x-5 e il punto medio 3..Adesso come procedo?
Aggiunto 6 minuti più tardi:
Comunque nel secondo ho trovato l'equazione della retta che passa per A e per B e dovrebbe essere -y=1/2x-5 e il punto medio 3..Adesso come procedo?
Ma come puoi scrivere una retta del tipo -y=..... ??
Le rette si scrivono:
in forma esplicita: y=mx+q
implicita: ax+by+c=0
Quindi cambia quei segni! e otterrai (se e' giusta) y=-1/2x+5
trovi la perpendicolare (pendenza = 2) passante per il punto medio (ovvero sostituisci alla retta y=2x+q le coordinate x e y del punto medio
Le rette si scrivono:
in forma esplicita: y=mx+q
implicita: ax+by+c=0
Quindi cambia quei segni! e otterrai (se e' giusta) y=-1/2x+5
trovi la perpendicolare (pendenza = 2) passante per il punto medio (ovvero sostituisci alla retta y=2x+q le coordinate x e y del punto medio
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