Geometria analitica (38254)

[piccola stella93]

Non riesco a risolvere questi problemi qualcuno mi potrebbe aiutare?
Determinare il perimetro del triangolo di vertici B(radice di 2;3radice di 2), C(-3 radice di 2;-3 radice di 2),D(6 radice di 2;-2 radice di 2). Determina il punto A di BD che lo divide, a partire da B, in parti proporzionali ai numeri 2 e 3. Calcola la distanza tra i baricentri dei triangoli ABC e ACD.

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia A(-5;1).Determina:
a) le coordinate del punto C appartenente all'asse delle ordinate tale che OC = CA;
b)le coordinate del punto B appartenente al segmento AO tale che AB/BO = 2/3;
c) l'area e le coordinate del baricentro del triangolo ABC.

GRAZIE. piccola stella.

[BIT5]

Per calcolare il perimetro del triangolo, dovrai calcolare le distanze tra i punti, utilizzando la formula

[math] \sqrt{ (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

una volta trovate le distanze tra i punti, la somma srara' il perimetro.

Conoscendo la lunghezza di BD, sai che AB:AD=2:3 e pertanto trovi la distanza di A dai punti B e D.

Con la formula di sopra ricavi le coordinate di A.

Guarda se fino a qui riesci.

[piccola stella93]

ho provato in vari modi ma non riesco a trovare le coordinate del punto A. puoi darmi qualche altra spiegazione? la mia prof. non ha molta pazienza nel spiegare. ti ringrazio. vorrei capire i vari passaggi.

[BIT5]

Calcoliamo la distanza tra B e D:

[math] \bar{BD}= \sqrt{ ( \sqrt2 - 6 \sqrt2)^2 + (3 \sqrt2 + 2 \sqrt2)^2} = \\ = \sqrt{ (-5 \sqrt2)^2+ (5 \sqrt2)^2}= \sqrt{100}=10 [/math]

Ora sai che la distanza di A da B e D sta nel rapporto 2:3

Quindi A dista da B 4 e da D 6

Il punto A ha coordinate generiche

[math] (x_0,y_0) [/math]

La distanza tra A e B sara'

[math] \sqrt{ ( \sqrt2-x_0)^2 + (3 \sqrt2-y_0)^2} [/math]

e dovra' essere uguale a 4, per cui

[math] \sqrt{ ( \sqrt2-x_0)^2 + (3 \sqrt2-y_0)^2}=4 [/math]

Analogamente la distanza tra A e D sara' 6 pertanto

[math] \sqrt{ ( 6 \sqrt2-x_0)^2 + (-2 \sqrt2-y_0)^2}=6 [/math]

Il punto pertanto dovra' soddisfare entrambe le condizioni e pertanto dovra' essere posto il sistema

[math] \{ \sqrt{ ( \sqrt2-x_0)^2 + (3 \sqrt2-y_0)^2}=4 \\ \sqrt{ ( 6 \sqrt2-x_0)^2 + (-2 \sqrt2-y_0)^2}=6 [/math]

Da cui elevando al quadrato entrambe le equazioni ed entrambi i membri

[math] \{ ( \sqrt2-x_0)^2 + (3 \sqrt2-y_0)^2=16 \\ ( 6 \sqrt2-x_0)^2 + (-2 \sqrt2-y_0)^2=36 [/math]

Risolvi il sistema e trovi le coordinate del punto.

Un altro metodo, che ti snellisce i calcoli:

Il punto A giace sulla retta che unisce B e D

Troviamo l'equazione della retta (anche qui hai due modi, o con la formula o con il sistema)

Utilizzo la formula

[math] \frac{y-y_B}{y_D-y_B}= \frac{x-x_B}{x_D-x_B} [/math]

e quindi

[math] \frac{y-3 \sqrt2}{-2 \sqrt2-3 \sqrt2}= \frac{x- \sqrt2}{6 \sqrt2- \sqrt2} [/math]

Da cui

[math] y=-x+4 \sqrt2 [/math]

A questo punto sappiamo che il punto A giace su questa retta, e pertanto il suo punto soddisfa l'equazione della retta.

Quindi il punto A di coordinate

[math] (x_0,y_0) [/math]

avra' le coordinate della forma

[math] (x_0,-x_0+4) [/math]

(perche' tutte le y sono uguali a -x+4radice2 come dice l'equazione)

A questo punto sostituisci le coordinate del punto alla distanza da B (o da D, come vuoi)

Prendiamo ad esempio la distanza da B

[math] \sqrt{ ( \sqrt2-x_0)^2 + (3 \sqrt2-(-x_0+4 \sqrt2))^2}=4 \to \\ \to ( \sqrt2-x_0)^2 + (3 \sqrt2-(-x_0+4 \sqrt2))^2=16 \to \\ \to ( \sqrt2-x_0)^2 + (- \sqrt2+x_0)^2=16 [/math]

Risolviamo l'equazione (ricordandoci il quadrato del binomio!)

[math] 2-2 \sqrt2 x_0 + x_0^2 +2-2 \sqrt2 x_0 + x_0^2 = 16 \to 4-4 \sqrt2 x_0+2x_0^2=16 [/math]

Raccogliamo il 2 (a sinistra) e semplifichiamo

[math] 2(2- 2 \sqrt2 x_0 + x^2)=16 \to 2-2 \sqrt2 x_0 + x_0^2=8 [/math]

Notiamo che a sinistra e' un quadrato di un binomio

[math] ( \sqrt2-x_0)^2=8 [/math]

Qui dobbiamo stare attenti.. Perche' affinche due quadrati siano uguali, gli argomenti devono essere uguali IN VALORE ASSOLUTO.

Infatti quando abbiamo un'uguaglianza tra quadrati, del tipo

[math] a^2=b^2 [/math]

dobbiamo considerare che

se a=b l'uguaglianza e' verificata
se -a=-b anche (ma quindi a=b)
se a=-b l'uguaglianza e' anch'essa verificata
se -a=b anche (ma quindi a=-b cambiando i segni)


e quindi

[math] \sqrt2-x_0= \pm \sqrt8 \to \sqrt2-x_0= \pm 2 \sqrt2 [/math]

E quindi abbiamo due soluzioni:

[math] x_0= - \sqrt2 [/math]

e

[math] x_0= 3 \sqrt2 [/math]

Se ci pensi e' naturale.
Stiamo cercando l'ascissa di un punto che disti 4 dal punto B.
I punti saranno 2, uno a destra e uno a sinistra di B.

Qui fai un'ultima considerazione.

Stiamo cercando il punto che sta tra B e D.
Guardando le rispettive ascisse noti che

[math] - \sqrt2 [/math]

non e' compreso tra le due ascisse.

Quindi a noi interessa

[math] 3 \sqrt2 [/math]

che e' compreso tra le ascisse di B e D

Quindi l'ascissa di A e'

[math] 3 \sqrt2 [/math]

L'ordinata la ricaviamo dalla retta passante per BD e a cui appartiene A

[math] y=-x+4 \sqrt2 \to y= -3 \sqrt2+4 \sqrt2 = \sqrt2 [/math]

Questa e' l'ordinata di A che pertanto avra' coordinate

[math] (3\sqrt2, \sqrt2) [/math]

Non so se i calcoli sono tutti corretti.

Comunque per esercizio ti consiglio di trovare A appartenente alla retta ponendo che la distanza da D sia 6 (analogamente a quanto fatto da me)

Per altre domande sono qui

[piccola stella93]

ti ringrazio per la cortesia che hai avuto, ma soprattutto per avermi mostrato i vari passaggi ora ho capito. grazieeeeeeee. piccola stella.

[romano90]

Ok, mi sembra che si possa chiudere qui :)


Chiudo.