Geometria analitica
Vi prego di aiutarmi nella risoluzione di questo problema:
Trovare le tangenti comuni alle due circonferenze x^2+y^2+6x-16=0 e x^2+y^2-5x+2y+1=0
Non saprei proprio da dove cominciare...
Trovare le tangenti comuni alle due circonferenze x^2+y^2+6x-16=0 e x^2+y^2-5x+2y+1=0
Non saprei proprio da dove cominciare...
Risposte
"obelix":
Vi prego di aiutarmi nella risoluzione di questo problema:
Trovare le tangenti comuni alle due circonferenze x^2+y^2+6x-16=0 e x^2+y^2-5x+2y+1=0
Non saprei proprio da dove cominciare...
In generale per prima cosa si trova il centro e il raggio delle circonferenze coinvolte nel problema. L'equazione generale di una circonferenza di raggio $r$ e centro $(x_0,y_0)$ è
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-r^2=0$
$x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2=0$
quindi se tu hai una circonferenza di equazione $x^2+y^2+ax+by+c=0$ confrontando i coefficienti con quella sopra hai
$x_0=-a/2$
$y_0=-b/2$
$r=sqrt(-c+(a^2+b^2)/4)$
il raggio della prima è 5 quello dela seconda è 5/2.
il centro della prima è (-3;0) quella della seconda (5/2;-1)
I risultati dovrebbero essere questi, ora come devo procedere? esiste un metodo generale per la risoluzione di questi tipi di problema
il centro della prima è (-3;0) quella della seconda (5/2;-1)
I risultati dovrebbero essere questi, ora come devo procedere? esiste un metodo generale per la risoluzione di questi tipi di problema
Ora, per trovare le rette tangenti ad entrambe le circonf., scrivi l'equazione della retta "t" generica nel piano usando 2 soli parametri, quindi in forma esplicita e poi rendila implicita.
Poi devi imporre che tale retta ignota sia tangente a entrambe le circonf., quindi dovrai imporre che:
$d(C_1,t)=R_1$
$d(C_2,t)=R_2$
che è un sistema di 2 eq. in 2 incognite.
Poi devi imporre che tale retta ignota sia tangente a entrambe le circonf., quindi dovrai imporre che:
$d(C_1,t)=R_1$
$d(C_2,t)=R_2$
che è un sistema di 2 eq. in 2 incognite.
scusate ma non capisco proprio come si fa: ma devo considerare una sola retta generica o le rette di un fascio?
Generica.
la retta deve avere equazione y=mx+q?
La retta che devi considerare è generica.
Ho provato a fare i calcoli ma vengono un po' compicati... ho tentato sia con la distanza dal centro che con il delta uguale a zero.
Obelix, se non hai capito dimmelo, ti spiego passo passo.
Ho provato a fare i calcoli ma vengono un po' compicati... ho tentato sia con la distanza dal centro che con il delta uguale a zero.
Obelix, se non hai capito dimmelo, ti spiego passo passo.
se fosse possibile mi piacerebbe se me lospiegassi passo passo perchè non ci sto capendo veramente niente.
é il primo problema di questo genere che mi capita e non riesco proprio a capire il metodo risolutivo
é il primo problema di questo genere che mi capita e non riesco proprio a capire il metodo risolutivo
Non ti preoccupare, ora ti spiego tutto.
Come ho già detto in altri topic, all'inizio la geometria analitica può risultare ostica, ma è tutta questione di abitudine e mentalità che si discosta dall'algebra (molto meccanica).
Allora, intanto un po' di geometria. Una retta tangente a una circonferenza dista dal centro di un segmento pari al raggio. Infatti la tangente in un punto è perpendicolare al raggio condotto dal centro in quello stesso punto, perciò (il raggio) risulta essere il segmento distanza.
La nostra retta generica è y=mx+q e messa in forma implicita è mx-y+q=0
Noi sappiamo che questa retta deve essere tangente a entrambe le circonferenze.
Quindi come ho detto prima deve distare dal centro tanto quanto il raggio, ma questo discorso va fatto per tutte e due le circonferenze.
Imposta dunque due equazioni, una in cui poni che la retta generica dista dal centro della prima circonferenza (-3,0) di 5, e dal centro della seconda circonferenza (5/2, -1) di 5/2.
Se non conosci la formula di distanza punto retta te la dico io:
$d=|mx-y+q|/(sqrt(m^2+1))$
Se non capisci questo linguaggio, scarica math player e lo visualizzerai bene.
comunque in parole è: distanza uguale a modulo di mx-y+q, fratto la radice di m quadro più 1.
x e y sono le coordinate dei due punti mentre m e q sono i paramentri della retta.
Se imposti le equazioni prima con una circonferenza, poi con l'altra, mettile a sistema. Otterrai i valori dei parametri m e q e potrai quindi sostituirli alla ratta generica, ottanendo una retta nota.
Come ho già detto in altri topic, all'inizio la geometria analitica può risultare ostica, ma è tutta questione di abitudine e mentalità che si discosta dall'algebra (molto meccanica).
Allora, intanto un po' di geometria. Una retta tangente a una circonferenza dista dal centro di un segmento pari al raggio. Infatti la tangente in un punto è perpendicolare al raggio condotto dal centro in quello stesso punto, perciò (il raggio) risulta essere il segmento distanza.
La nostra retta generica è y=mx+q e messa in forma implicita è mx-y+q=0
Noi sappiamo che questa retta deve essere tangente a entrambe le circonferenze.
Quindi come ho detto prima deve distare dal centro tanto quanto il raggio, ma questo discorso va fatto per tutte e due le circonferenze.
Imposta dunque due equazioni, una in cui poni che la retta generica dista dal centro della prima circonferenza (-3,0) di 5, e dal centro della seconda circonferenza (5/2, -1) di 5/2.
Se non conosci la formula di distanza punto retta te la dico io:
$d=|mx-y+q|/(sqrt(m^2+1))$
Se non capisci questo linguaggio, scarica math player e lo visualizzerai bene.
comunque in parole è: distanza uguale a modulo di mx-y+q, fratto la radice di m quadro più 1.
x e y sono le coordinate dei due punti mentre m e q sono i paramentri della retta.
Se imposti le equazioni prima con una circonferenza, poi con l'altra, mettile a sistema. Otterrai i valori dei parametri m e q e potrai quindi sostituirli alla ratta generica, ottanendo una retta nota.
grazie ora provo a svolgerlo
io sono arrivato alle seguenti equazioni :
16m^2+6mq+25-q^2=0;
20mq+20m+4q^2+8^q-21=0;
ora mettendole a sistema escono calcoli troppo lunghi: ho sbagliato oppure esiste un metodo più veloce per risolvere il sistema?
Grazie per il vostro prezioso aiuto
16m^2+6mq+25-q^2=0;
20mq+20m+4q^2+8^q-21=0;
ora mettendole a sistema escono calcoli troppo lunghi: ho sbagliato oppure esiste un metodo più veloce per risolvere il sistema?
Grazie per il vostro prezioso aiuto
mmmm.. posso dirti di riguardarti i calcoli, però ti dico che anche io avevo buttato li due conti e mi veniva un sistema simile al tuo.
L'altro sistema era di imporre i delta nulli, ma con la circonferenza non è il metodo preferito, si preferisce quello che ti ho detto io.
L'altro sistema era di imporre i delta nulli, ma con la circonferenza non è il metodo preferito, si preferisce quello che ti ho detto io.
Puo' essere utile ,a volte ,interpretare il problema anche dal punto
di vista geometrico.
Poiche' la distanza dei centri delle 2 circonferenze e' minore della somma
dei raggi le circonferenze s'intersecano e quindi esistono solo 2 tangenti comuni
di cui sia T l'intersezione.
Dai triangoli simili $C_1AT$ e $C_2BT$ (vedi figura) si ha:
$(C_1T)/(C_2T)=(C_1A)/(C_2B)=2$ e dunque $C_2$ e' il punto medio
di $C_1T$.Pertanto,posto T=(x,y),si ha :
$(x-3)/2=5/2,(y+0)/2=-1$-->T(8,-2);$C_1T=sqrt(121+4)=5sqrt5$
Detto poi a l'angolo $C_1TA$ risulta:
$sin(a)=(C_1A)/(C_1T)=1/(sqrt5) ->tan(a)=1/2$
Ora il coefficiente angolare di $C_1C_2$ e' $-2/(11)$ e pertanto,detto m il
coefficiente angolare di una delle due tangenti ed applicando una nota formula
dell'angolo tra 2 rette,ne viene:
$(11m+2)/(11-2m)=+-1/2$ da cui si ricavano i coefficienti angolari delle 2 tangenti:
$m_1=-3/4,m_2=7/(24)$.
In conclusione le richieste tangenti sono:
$t_1:y+2=-3/4(x-8)$
$t_2:y+2=7/(24)(x-8)$
karl
Ciao Karl; anche io avevo appena svolto geometricamente, dopo aver visto i calcoli logorroici; però dopo la determinazione del punto T, che io avevo chiamato P, ho semplicemente determinato la retta, che poi sono 2, passante per T e tangente o ad una o all'altra circonferenza. Può darsi che il nostro amico non abbia ancora fatto trigonometria.
grazie a tutti per le risposte pervenute.
Comunque, come affermato da Laura Todisco, non ho ancora affrontato trigonometria.
Ciao
Obelix
Comunque, come affermato da Laura Todisco, non ho ancora affrontato trigonometria.
Ciao
Obelix
"obelix":
io sono arrivato alle seguenti equazioni :
16m^2+6mq+25-q^2=0;
20mq+20m+4q^2+8^q-21=0;
ora mettendole a sistema escono calcoli troppo lunghi: ho sbagliato oppure esiste un metodo più veloce per risolvere il sistema?
Grazie per il vostro prezioso aiuto
il sistema l'ho risolto, è vero ci sono calcoli, ma la strada è questa se non segui quella di karl, che non puoi seguire perchè non hai fatto la trigonometria ed escono fuori i risultati
$m_1=-3/4,q_1=4$ $->$ $y=-3/4*x+4$
$m_2=7/24,q_2=-13/3$ $->$ $y=7/24*x-13/3$
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