Geometria

[schoggi]

Ciao!
ho il seguente esercizio:
La somma dei perimetri di due triangoli rettangoli simili ABC e A'B'C' è 72 cm. Il rapporto tra l'area di A'B'C' e l'area di ABC è 25. Sapendo che il cateto AC di ABC è $3/4$ del cateto AB, determina le aree dei due triangoli.

Innanzitutto visto che il rapporto delle aree è 25, quello dei perimetri e dei lati è 5, ho trovao che il perimetro di ABC vale 12 cm e quello di A'B'C' vale 60 cm.
Ho poi provato ad impostare delle equazioni $x+y+z=12$ e $1/2xy * 2/(25xy)=25$ x,y,z sono i lati del triangoli ABC. Tuttavia così continuando non riesco a risolverlo. C'è qualcuno che mi può dare una mano?

Grazie mille!

[Sk_Anonymous]

Posto \( \overline{AB}=x \ \rightarrow \ \overline{AC}=\frac{3}{4} \overline{AB}\ \ \rightarrow \ \overline{AC}=\frac{3}{4}x \), si ricava che l'ipotenusa del triangolo \(ABC\) misura \(\frac{5}{4} x\). Ricordando che due triangoli simili hanno i lati in proporzione, si può affermare a ragion veduta che \(\overline{A'B'}=k \cdot \overline{AB}=k \cdot x\), che \(\overline{A'C'}=k \cdot \overline{AC}= k \cdot \frac{3}{4}x\) e che \(\overline{B'C'}=k \cdot \overline{BC}= k \cdot \frac{5}{4} x\). Del resto si sa che \(2p_{ABC} + 2p_{A'B'C'}=72\) ossia che \(x+\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}x + k(x + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}x)=72 \) e pure che \(\frac{A_{A'B'C'}}{A_{ABC}}=25 \ \rightarrow \ \frac{k^{2}(x \cdot \frac{3}{4}x)\cdot \frac{1}{2}}{x \cdot \frac{3}{4}x \cdot \frac{1}{2}}=25\)...

A occhio i primi passaggi che hai fatto sono corretti, mentre non riesco ad intendere bene il significato delle due equazioni. Prova a dare un'occhiata al metodo che ti ho proposto sopra.

[cenzo1]

"schoggi":$x+y+z=12$

Utilizza le indicazioni di Delirium in quella equazione: $y=3/4x$ e $z=5/4x$ (teorema Pitagora). Riesci a ricavare $x=4$. Di conseguenza tutto il resto.

[schoggi]

Ciaoo! Grazie mille ad entrambi, sono riuscita a risolverlo grazie al teorema di Pitagora!
L'area, se non sbaglio, esce una $6 cm^2$ e l'altra $150 cm^2$