Geometria
salve a tutti, ho difficoltà con un problema di geometria:
nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB è uguale all'altezza AD:la perpendicolare ad AC condotta da B interseca AD in P ; la diagonale BD biseca l'angolo PBC. Provare che i triangoli BCD e BPD sono uguali. il punto B dista 12cm da AC e il punto C dista 9cm da BP. determinare il perimetro del trapezio
prima di tutto nn riesco a capire come facciano ad essere uaguali, forse ho fatto male la figura ( se me la potreste fare gentilmente).
poi sono riuscito a trovare solo il lato BC che è di 15cm
potete spiegarmelo?
AUGURI DI BUONA PASQUA A TUTTI ANCHE SE IN RITARDO
nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB è uguale all'altezza AD:la perpendicolare ad AC condotta da B interseca AD in P ; la diagonale BD biseca l'angolo PBC. Provare che i triangoli BCD e BPD sono uguali. il punto B dista 12cm da AC e il punto C dista 9cm da BP. determinare il perimetro del trapezio
prima di tutto nn riesco a capire come facciano ad essere uaguali, forse ho fatto male la figura ( se me la potreste fare gentilmente).
poi sono riuscito a trovare solo il lato BC che è di 15cm
potete spiegarmelo?
AUGURI DI BUONA PASQUA A TUTTI ANCHE SE IN RITARDO
Risposte
La figura è semplice; il lato uguale alla base, con la base, forma un angolo di 90 gradi e si trova a sinistra nella figura.
Poiché $bar(BP)$ è perpendicolare ad $bar(AC)$, l'angolo $\hat{COB}$ è retto in O (O è il punto di intersezione di $bar(BP)$ con $bar(AC)$), pertanto il lato $bar(BC)$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo $hat(COB)$, quindi si trova immediatamente che $bar(BC)\ =\ sqrt(CO^2 + BO^2) =\ sqrt(9^2 + 12^2)\ =\ sqrt(225)\ =\ 15$. L'angolo $\hat(CAB)$ è uguale all'angolo $\hat(ACD)$ (perché alterni interni di rette parallele $bar(DC)$ e $bar(AB)$), per lo stesso motivo anche l'angolo $hat(CBA)$ è uguale a $hat(CAB)$, e, perciò, il triangolo $ACB$ è isoscele e $bar(AC) = bar(CB) = 15$. Poiché $bar(CO) = 9 \ e \ bar(CA) = 15$, si ha $bar(AO) = 15 - 9 = 6$ e la misura di $bar(AB)$ risulta $sqrt(AO^2 + OB^2) = 6sqrt(5) = AD$ per quanto assegnato nella traccia. Applicando ancora il Teorema di Pitagora al triangolo $hat(ADC)$, rettangolo in D, si ha $bar(DC) =\ 3sqrt(5)$; ne deriva che il perimetro cercato è:
$bar(DC)\ +\ bar(CB)\ +\ 2*bar(AD)= 15(sqrt(5)+1)$, mentre l'Area è 135 $u^2$. Infine i due triangoli BCD e BPD sono uguali perché hanno due lati e l'angolo compreso uguali.
Poiché $bar(BP)$ è perpendicolare ad $bar(AC)$, l'angolo $\hat{COB}$ è retto in O (O è il punto di intersezione di $bar(BP)$ con $bar(AC)$), pertanto il lato $bar(BC)$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo $hat(COB)$, quindi si trova immediatamente che $bar(BC)\ =\ sqrt(CO^2 + BO^2) =\ sqrt(9^2 + 12^2)\ =\ sqrt(225)\ =\ 15$. L'angolo $\hat(CAB)$ è uguale all'angolo $\hat(ACD)$ (perché alterni interni di rette parallele $bar(DC)$ e $bar(AB)$), per lo stesso motivo anche l'angolo $hat(CBA)$ è uguale a $hat(CAB)$, e, perciò, il triangolo $ACB$ è isoscele e $bar(AC) = bar(CB) = 15$. Poiché $bar(CO) = 9 \ e \ bar(CA) = 15$, si ha $bar(AO) = 15 - 9 = 6$ e la misura di $bar(AB)$ risulta $sqrt(AO^2 + OB^2) = 6sqrt(5) = AD$ per quanto assegnato nella traccia. Applicando ancora il Teorema di Pitagora al triangolo $hat(ADC)$, rettangolo in D, si ha $bar(DC) =\ 3sqrt(5)$; ne deriva che il perimetro cercato è:
$bar(DC)\ +\ bar(CB)\ +\ 2*bar(AD)= 15(sqrt(5)+1)$, mentre l'Area è 135 $u^2$. Infine i due triangoli BCD e BPD sono uguali perché hanno due lati e l'angolo compreso uguali.
grazie ma sono riuscito a farlo da solo . l'unica cosa che mi mancava era dimotra re che fossero uguali
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