Geometria 1 - Matrici e sistemi
Dato l'insieme
determinare un sistema lineare le cui soluzioni coincidano con S. Quante saranno le incognite? Qual è il numero minimo di equazioni necessarie?
Ho abbozzato ad una soluzione ma viene sbagliata rispetto a quella che dà la prof... e non credo sia la prof a sbagliare.
[math]S=
\begin{Bmatrix}
\binom{\lambda -2\\
3\mu +1}{\lambda -\mu -1},\; \lambda , \mu \in \mathbb{R}
\end{Bmatrix}[/math]
\begin{Bmatrix}
\binom{\lambda -2\\
3\mu +1}{\lambda -\mu -1},\; \lambda , \mu \in \mathbb{R}
\end{Bmatrix}[/math]
determinare un sistema lineare le cui soluzioni coincidano con S. Quante saranno le incognite? Qual è il numero minimo di equazioni necessarie?
Ho abbozzato ad una soluzione ma viene sbagliata rispetto a quella che dà la prof... e non credo sia la prof a sbagliare.
Risposte
Prima di scrivere il sistema puoi, direttamente rispondere alle domande in questione. Dal momento che la soluzione è un vettore a 3 componenti, le incognite sono tre. In più, essendo lo spazio delle soluzioni uno spazio vettoriale di dimensione 2 (dipende da due parametri) questo vuol dire (per il teorema di Rouché-Capelli) che hai bisogno di 3-2=1 equazioni effettive. Vediamo un po' come determinarle.
Poniamo
Risolvendo le prime due rispetto a
e quindi sostituendo nella terza equazione
o ancora
che è l'unica equazione di cui hai davvero bisogno. A questo punto puoi costruire altre equazioni "fittizie" partendo da quella che ho scritto (moltiplicando per costanti non nulle oppure spezzando la precedente in somme).
Un altro metodo è quello di scrivere in generale il sistema nella forma
dove
Poniamo
[math]x=\lambda-2,\ \ y=3\mu+1,\ \z=\lambda-\mu-1[/math]
Risolvendo le prime due rispetto a
[math]\lambda,\ mu[/math]
otteniamo[math]\lambda=x+2,\qquad \mu=\frac{1}{3}(y-1)[/math]
e quindi sostituendo nella terza equazione
[math]z=x+1+\frac{y}{3}-\frac{1}{3}[/math]
o ancora
[math]3x+y-3z=-2[/math]
che è l'unica equazione di cui hai davvero bisogno. A questo punto puoi costruire altre equazioni "fittizie" partendo da quella che ho scritto (moltiplicando per costanti non nulle oppure spezzando la precedente in somme).
Un altro metodo è quello di scrivere in generale il sistema nella forma
[math]A\mathbf{x}=\mathbf{0}[/math]
dove
[math]A, \mathbf{x}, \mathbf{0}[/math]
sono rispettivamente la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite e il vettore nullo e pensare allo spazio delle soluzioni come il nucleo dell'applicazione lineare associata alla matrice [math]A[/math]
. Questo ti dice che il nucleo ha dimensione 2 e che i vettori dello spazio [math]S[/math]
sono i suoi elementi: scegliendo [math]\lambda=1,\mu=0[/math]
o [math]\lambda=0,\mu=1[/math]
trovi una base di esso e da questa puoi risalire a costruire l'immagine dell'applicazione, che sarà formata da 3 equazioni lineari nelle incognite x,y,z, le quali rappresentano il sistema da te cercato. (ma è una roba lunga e sinceramente non mi va di farla adesso!)
Grazie mille. Allora credo abbia sbagliato la prof dicendo che le equazioni necessarie devono essere 2.
# the.track :
Grazie mille. Allora credo abbia sbagliato la prof dicendo che le equazioni necessarie devono essere 2.
E come lo ha applicato Rouché-Capelli? Chi è sto genio?
Poiché S è un sottoinsieme di
Questa è la sua soluzione copiata alla lettera. Uno dei nostri problema era come ha fatto a dire a priori e con esclusività che S è sosttoinsieme di
Sbaglio?
[math]\mathbb{R}^4[/math]
, le incognite del sistema saranno 4. Inoltre poiché le soluzioni del sistema omogeneo associato dipendono da 2 parametri il numero minimo di equazioni (ossia il rango della matrice associata al sistema) sarà 4-2=2. Un sistema cercato è:[math]\begin{case}3x_2 - 2x_3 = 5\\
2x_1 - x_2 - 2x_4 = 5
\end{case} [/math]
2x_1 - x_2 - 2x_4 = 5
\end{case} [/math]
Questa è la sua soluzione copiata alla lettera. Uno dei nostri problema era come ha fatto a dire a priori e con esclusività che S è sosttoinsieme di
[math]\mathbb{R}^4[/math]
. Per come la vedo io è sottoinsieme di anche di [math]\mathbb{R}^5[/math]
o di [math]\mathbb{R}^{562}[/math]
. Sbaglio?
Track.... dove hai scritto nella traccia che
Quello che mi chiedo è se questo esercizio non faccia parte di qualcosa di più grande, per cui lei sa a priori che vale quella condizione. Ad esempio, può essere che S sia il nucleo di una applicazione da
Comunqeu, se è così, allora la soluzione è quella che dice lei.
[math]S\subseteq \mathbb{R}^4[/math]
?Quello che mi chiedo è se questo esercizio non faccia parte di qualcosa di più grande, per cui lei sa a priori che vale quella condizione. Ad esempio, può essere che S sia il nucleo di una applicazione da
[math]\mathbb{R}^4[/math]
in qualcos'altro... e in ogni caso, andrebbe scritto.Comunqeu, se è così, allora la soluzione è quella che dice lei.
No io ti ho copiato il testo dell'esercizio e la relativa esecuzione da lei fatta. Non ci sono riferimenti ad altri esercizi o a situazioni particolari.
Allora non capisco da dove possa affermare che S sia un sottospazio di uno di dimensione 4! Potrebbe essere anche un sottospazio di uno a dimensione
Se lo afferma, da qualche parte lo dovrà pure tirare fuori... oppure semplicmente s'è scordata di dirvelo!
Che poi, tra l'altro.... se il vettore delle soluzioni ha 3 componenti... allora S è un sottospazio di uno di dimensione 3!!!!!!!!!
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Ed ammetenndo anche che abbia ragione.... a me quel sistema che ha scritto lei non dà quello che hai scritto tu come soluzione!
[math]\omega\in\mathbb{R}[/math]
(cioè analitico!).Se lo afferma, da qualche parte lo dovrà pure tirare fuori... oppure semplicmente s'è scordata di dirvelo!
Che poi, tra l'altro.... se il vettore delle soluzioni ha 3 componenti... allora S è un sottospazio di uno di dimensione 3!!!!!!!!!
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Ed ammetenndo anche che abbia ragione.... a me quel sistema che ha scritto lei non dà quello che hai scritto tu come soluzione!
Ieri le ho mandato una mail. Oggi mi ha risposto ed ha confermato che quella non era la soluzione dell'esercizio. Quindi ora è tutto posto. Grazie mille ciampolino!! :gratta :gratta :love :love :lol
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