Geometra analitica : Rombo
Buongiorno a tutti ho bisogno dello svolgimento di questo esercizio nn riesco a capire come farlo ...
I punti a(1;0) e c(3;2) sono gli estremi di una diagonale del rombo abcd di area 8 . Determinare :
a) i vertici b e d ( d di ordinata negativa) del rombo abcd
b) la distanza fra gli ortocentri dei triangoli abcd
c) i punti p della retta y=-3x-1 per i quali risulti:
ph=6pk
essendo ph e pk distanze di p rispettivamente dalle rette ac e bd
d) detto m il punto d'incontro delle diagonali del rombo , determinare le rette r1 e r2 parallele alla retta y=2x avente distanza 6/v5 da m e le rette s1 e s2 parallele alla retta y=-2x aventi distanza 3/v5 da m ;
e) perimetro e area del parallelogramma determinato dalle rette trovate al punto d )
v= radice quadrata
Aiutatemiii vi pregooo...:(
I punti a(1;0) e c(3;2) sono gli estremi di una diagonale del rombo abcd di area 8 . Determinare :
a) i vertici b e d ( d di ordinata negativa) del rombo abcd
b) la distanza fra gli ortocentri dei triangoli abcd
c) i punti p della retta y=-3x-1 per i quali risulti:
ph=6pk
essendo ph e pk distanze di p rispettivamente dalle rette ac e bd
d) detto m il punto d'incontro delle diagonali del rombo , determinare le rette r1 e r2 parallele alla retta y=2x avente distanza 6/v5 da m e le rette s1 e s2 parallele alla retta y=-2x aventi distanza 3/v5 da m ;
e) perimetro e area del parallelogramma determinato dalle rette trovate al punto d )
v= radice quadrata
Aiutatemiii vi pregooo...:(
Risposte
vediamo il primo punto.
Sappiamo che l'Area del rombo e' 8.
L'Area si calcola come prodotto delle diagonali / 2.
Quindi il prodotto delle diagonali sara' 16.
La lunghezza di una diagonale e' la distanza tra i punti a e c.
Pertanto sara'
Pertanto l'altra diagonale sara' lunga:
Sappiamo inoltre che le diagonali del rombo sono perpendicolari e che si intersecano nel loro punto medio.
Il punto medio tra a e c sara':
La retta passante per AC sara'
e la sua perpendicolare avra' dunque pendenza=-1 (ovvero
Sara' dunque della forma
e passera' per il punto medio (2,1)
Quindi il punto ne soddisfera' l'equazione
La retta su cui giace l'altra diagonale sara' dunque
I punti giacenti su questa retta sono tutti della forma
Dobbiamo trovare i due punti distanti dal punto medio
da cui elevando al quadrato
e quindi
dividi tutto per due e ottieni
e quindi le due ascisse saranno
E le ordinate (dal momento che i punti giacciono sulla retta y=-x+3) saranno
I punti sono dunque:
ora prova ad andare avanti tu.
Sappiamo che l'Area del rombo e' 8.
L'Area si calcola come prodotto delle diagonali / 2.
Quindi il prodotto delle diagonali sara' 16.
La lunghezza di una diagonale e' la distanza tra i punti a e c.
Pertanto sara'
[math] \bar{AC}= \sqrt{(1-3)^2+(0-2)^2}= \sqrt{4+4}= \sqrt{8}= 2 \sqrt2 [/math]
Pertanto l'altra diagonale sara' lunga:
[math] \frac{16}{2 \sqrt2}= \frac{8}{\sqrt2}= \frac{8 \sqrt2}{2}= 4 \sqrt2 [/math]
.Sappiamo inoltre che le diagonali del rombo sono perpendicolari e che si intersecano nel loro punto medio.
Il punto medio tra a e c sara':
[math] x_M= \frac{1+3}{2}=2 \ \ y_M= \frac{0+2}{2} = 1 [/math]
La retta passante per AC sara'
[math] \frac{y-0}{2-0}= \frac{x-1}{3-1} \to y=x-1 [/math]
e la sua perpendicolare avra' dunque pendenza=-1 (ovvero
[math] - \frac{1}{m} [/math]
della retta AC)Sara' dunque della forma
[math] y=-x+q [/math]
e passera' per il punto medio (2,1)
Quindi il punto ne soddisfera' l'equazione
[math] 1=-2+q \to q=3 [/math]
La retta su cui giace l'altra diagonale sara' dunque
[math] y=-x+3 [/math]
I punti giacenti su questa retta sono tutti della forma
[math] ( x_0,-x_0+3) [/math]
Dobbiamo trovare i due punti distanti dal punto medio
[math] 2 \sqrt2 [/math]
(ovvero la meta' della diagonale)[math] \sqrt{(x_0-2)^2+(-x_0+3-1)^2} = 2 \sqrt2 [/math]
da cui elevando al quadrato
[math] x_0^2-4x_0+4+x_0^2-4x_0+4 = 8 [/math]
e quindi
[math] 2x_0^2-8x_0+8=8 [/math]
dividi tutto per due e ottieni
[math] x_0^2-4x_0+4=4 \to x_0^2-4x_0=0 \to x_0(x_0-4)=0 [/math]
e quindi le due ascisse saranno
[math] x_1=0 \ \ e \ \ x_2=4 [/math]
E le ordinate (dal momento che i punti giacciono sulla retta y=-x+3) saranno
[math] y_1=3 \ \ e \ \ y_2=-1 [/math]
I punti sono dunque:
[math] B(0,3) \ \ D(4,-1) [/math]
ora prova ad andare avanti tu.
Graziee ma io soprottattu non riesco a capire come svolgere il punto c e d dell'esercizio :( ... Qualcuno sa cm aiutarmi??
c)
Trovati gli altri due vertici, puoi trovarti le rette che passano per ac e per bd.
Considera un punto generico della tua retta P(x;-3x-1) e imponi che la distanza di questo punto dalle rette passanti per ac e bd deve essere uguale. Distanza Punto P e retta ac = 6 che moltiplica Distanza Punto P e retta bd
d)
Metti ad intersezione le rette passanti per ac e bd, e trovi il punto M.
Poichè r1 e r2 è parallela alla retta y=2x queste due rette avranno lo stesso coef. angolare m=2. Considera il fascio di rette y-yo=2(x-xo), cioè 2x-y-2xo+yo=0 e imponi che questa retta ha la distanza M e tale retta =6/v5.
Stessa cosa per le rette s1 e s2 solo che qui il fascio di rette generiche ha equazione 2x+y-2xo-yo=0
Trovati gli altri due vertici, puoi trovarti le rette che passano per ac e per bd.
Considera un punto generico della tua retta P(x;-3x-1) e imponi che la distanza di questo punto dalle rette passanti per ac e bd deve essere uguale. Distanza Punto P e retta ac = 6 che moltiplica Distanza Punto P e retta bd
d)
Metti ad intersezione le rette passanti per ac e bd, e trovi il punto M.
Poichè r1 e r2 è parallela alla retta y=2x queste due rette avranno lo stesso coef. angolare m=2. Considera il fascio di rette y-yo=2(x-xo), cioè 2x-y-2xo+yo=0 e imponi che questa retta ha la distanza M e tale retta =6/v5.
Stessa cosa per le rette s1 e s2 solo che qui il fascio di rette generiche ha equazione 2x+y-2xo-yo=0
ma cosa sono H e K?
ph e pk sono distanze di p rispettivamente dalle rette ac e bd ...
Trovate le rette AC e BD, sai che il punto appartenente alla retta data e' della forma:
Pertanto dovrai porre che la distanza di questo punto generico dalla retta AC (scritta in forma implicita) sia uguale a quella dalla retta BC.
Trovate le rette r e s, dovrai porre
dimmi se riesci cosi' passiamo al punto d
[math] x_0,-3x_0-1 [/math]
Pertanto dovrai porre che la distanza di questo punto generico dalla retta AC (scritta in forma implicita) sia uguale a quella dalla retta BC.
Trovate le rette r e s, dovrai porre
[math] \frac{ |a_rx_0+b_r(-3x_0-1)+c_r|}{\sqrt{a_r^2+b_r^2}}= 6 \frac{ |a_sx_0+b_s(-3x_0-1)+c_s|}{\sqrt{a_s^2+b_s^2)} [/math]
dimmi se riesci cosi' passiamo al punto d
si ok per il punto c) va bene... ADEsso potresti spiegarmi il punto D) ?
m e' il punto di incontro delle diagonali, ovvero il punto medio di queste, che gia' hai ricavato nel punto a) (e che ho ricavato anche io nel mio primo post)
Le rette parallele, hanno stesso coefficiente angolare.
Le rette r1 e r2 avranno dunque coefficiente angolare pari a 2 e saranno della forma
Il punto di incontro delle diagonali e' (2,1)
Dovrai quindi imporre la distanza punto-retta pari a
La retta generica dovra' essere scritta in forma implicita, pertanto
La distanza punto retta sara'
Semplifichi i denominatori e ottieni
Pertanto le due rette saranno
Analogamente procedi per le due rette s
Le rette parallele, hanno stesso coefficiente angolare.
Le rette r1 e r2 avranno dunque coefficiente angolare pari a 2 e saranno della forma
[math] y=2x+q [/math]
Il punto di incontro delle diagonali e' (2,1)
Dovrai quindi imporre la distanza punto-retta pari a
[math] \frac{6}{ \sqrt5} [/math]
(spero di aver letto bene quel numero che hai scritto tu).La retta generica dovra' essere scritta in forma implicita, pertanto
[math] y=2x+q \to 2x-y+q=0 [/math]
La distanza punto retta sara'
[math] \frac{|2 \cdot2-1+q|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{6}{\sqrt5} [/math]
Semplifichi i denominatori e ottieni
[math] |4-1+q|=6 \to 3+q= \pm 6 \to q_1=3 \ e \ q_2=-9 [/math]
Pertanto le due rette saranno
[math] r_1:y=2x+3 \ \ \ r_2:y=2x-9 [/math]
Analogamente procedi per le due rette s
Grazieee ... SEi un mitoo...:-)
Prego!
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